Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

Розв'язок однорідного Якщо рівняння однорідне, тобто, , його можна проінтегрувати як рівняння з відокремленими змінними:

де — довільна стала інтегрування та — невизначений інтеграл від . Тому, загальним розв'язком однорідного рівняння є

де — довільна стала.

Розв'язок неоднорідного Використовуючи інтегрувальний множник Для знаходження загального розв'язку неоднорідного рівняння, використаємо як інтегрувальний множник — обернену величину до розв'язку однорідного рівняння. Отримаємо зліва похідну від добутку 2 функцій:

Оскільки то правило добутку дозволяє переписати рівняння, як

Проінтегрувавши, отримаємо загальний розв'язок

де — стала інтегрування, та — довільна первісна від .

Методом варіації довільної сталої Замінивши сталу на невідому функцію , і підставивши частковий розв'язок однорідного в неоднорідне рівняння, знайдемо :

Тоді частковий розв'язок неоднорідного:

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та часткового розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

Рівняння, що зводяться до нього Рівняння Підстановки Результат Примітка Диференціальне рівняння Бернуллі диференціюємо рівняння та Рівняння д'Аламбера/Лагранжа

Приклади Приклад 1 Типовим простим прикладом є моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N(t) позначає кількість радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої k>0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

Приклад 2 Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

Це рівняння застосовне до RC-кіл (ємність-опір) та інерційних демпферів.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1, F(х) = bx''.

Тож розв'язком є

Приклад 3 Розв'яжемо рівняння

Його однорідне рівняння запишемо як рівняння з відокремленими змінними

і проінтегрувавши отримаємо

Поділивши початкове рівняння на один із цих розв'язків, отримаємо

Тобто,

та

Для початкової умови

отримаємо частковий розв'язок

Джерела