Чисельні методи розв'язання диференційних рівнянь у частинних похідних — розділ чисельного аналізу, присвячений диференціальним рівнянням в частинних похідних.
Існують спеціалізовані методи для гіперболічних, параболічних та еліптичних диференціальних рівнянь в частинних похідних.
Огляд методів
Метод скінченних різниць
У цьому методі функції представлені їхніми значеннями в певних точках сітки, а похідні апроксимуються через різниці цих значень.
Метод ліній
Метод ліній () — це метод розв'язання диференціальних рівнянь в частинних похідних, в якому всі виміри, крім одного, дискретизовані. Метод ліній дозволяє використовувати стандартні методи та програмне забезпечення, розроблені для чисельного інтегрування звичайних диференціальних рівнянь та . Для цього методу розроблено велику кількість процедур інтегрування на багатьох різних мовах програмування, а деякі з них опубліковані як ресурси з відкритим кодом.
Метод ліній найчастіше застосовують шляхом дискретизації лише просторових похідних, залишаючи часову змінну неперервною. Це призводить до системи звичайних диференціальних рівнянь, до якої можна застосувати чисельний метод для звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами. Застосування методу ліній у цьому контексті сягає щонайменше початку 1960-х років.
Метод скінченних елементів
Метод скінченних елементів — це чисельний метод для знаходження наближених розв'язків крайових задач для диференціальних рівнянь. Він використовує варіаційні методи (варіаційне числення) для мінімізації функції похибки та отримання стійкого розв'язку. Аналогічно ідеї про те, що з'єднання багатьох крихітних прямих ліній може апроксимувати більше коло, метод скінченних елементів охоплює всі методи з'єднання багатьох простих елементарних рівнянь над багатьма малими підобластями, які називаються скінченними елементами, для апроксимації складнішого рівняння над більшою областю.
Метод градієнтної дискретизації ґрунтується на роздільному наближенні функції та її градієнта. Важливою властивістю цього методу є його збіжність для серії лінійних та нелінійних задач, і цю властивість успадковують всі методи, створені на його основі — узгоджені та неузгоджені методи скінченних елементів (), змішані методи скінченних елементів (), міметичні методи скінченних різниць ().
Метод скінченних об'ємів
Метод скінченних об'ємів — це чисельний метод для представлення та оцінки диференціальних рівнянь в частинних похідних у формі алгебраїчних рівнянь [LeVeque, 2002; Toro, 1999]. Подібно до методу скінченних різниць та методу скінченних елементів, значення обчислюються в дискретних місцях на сітці певної геометрії. «Скінченний об'єм» означає малий об'єм, що оточує кожну вузлову точку на сітці. У методі скінченних об'ємів інтеграли об'єму в диференціальному рівнянні в частинних похідних, які містять член дивергенції, перетворюють на поверхневі інтеграли за допомогою теореми про дивергенцію. Ці члени потім оцінюють як потоки на поверхнях кожного скінченного об'єму. Оскільки потік, що входить у заданий об'єм, ідентичний потоку, що виходить із сусіднього об'єму, ці методи є консервативними. Ще однією перевагою методу скінченних об'ємів є те, що їх легко формулювати для випадку неструктурованих сіток. Метод використовують в багатьох пакетах обчислювальної гідродинаміки.
Спектральний метод
Спектральні методи — це методи, використовувані в прикладній математиці та наукових обчисленнях для чисельного розв'язання певних диференціальних рівнянь, часто з використанням швидкого перетворення Фур'є. Ідея полягає в тому, щоб записати розв'язок диференціального рівняння як суму певних «базисних функцій» (наприклад, як ряд Фур'є, який є сумою синусоїд), а потім вибрати коефіцієнти в сумі, які найкраще задовольняють диференціальному рівнянню.
Спектральні методи та методи скінченних елементів тісно пов'язані та побудовані на одних і тих самих ідеях. Основна відмінність між ними полягає в тому, що спектральні методи використовують базисні функції, відмінні від нуля по всій області визначення, тоді як методи скінченних елементів використовують базисні функції, відмінні від нуля, лише на малих підобластях. Іншими словами, спектральні методи використовують глобальний підхід, тоді як методи скінченних елементів використовують локальний підхід. Частково з цієї причини спектральні методи мають чудові властивості похибки, причому так звана «експоненціальна збіжність» є найшвидшою можливою, коли розв'язок гладкий. Однак застосування цього методу до випадків з ударними хвилями може призводити до ускладнень. У спільноті дослідників методів скінченних елементів метод, де ступінь елементів дуже високий або збільшується зі зменшенням параметра сітки h до нуля, іноді називають методом спектральних елементів.
Безсіткові методи
Безсіткові методи не вимагають сітки, що з'єднує точки даних області моделювання. Безсіткові методи дозволяють моделювати деякі складні типи задач, але за рахунок додаткового обчислювального часу та зусиль у програмуванні.
Методи розкладання області розв'язують крайову задачу шляхом її розбиття на менші крайові задачі на підобластях та ітерації для координації розв'язку між сусідніми підобластями. з однією або кількома невідомими на підобласть використовують для подальшої координації розв'язку між підобластями в глобальному масштабі. Задачі на підобластях незалежні, що робить методи розкладання області придатними для паралельних обчислень. Методи розкладання області зазвичай використовуються як для ітеративних методів у просторі Крилова, таких як метод спряжених градієнтів або .
У методах розкладання області з перекриттям підобластей підобласті частково перекриваються між собою, а не тільки контактують на границях. Методи розкладання області з перекриттям включають метод чергування Шварца та адитивний метод Шварца. Багато методів розкладання області можна записати та проаналізувати як окремий випадок .
У методах без перекриття, підобласті контактують лише на границях. У первинних методах, таких як та , неперервність розв'язку на поверхні підобласті забезпечується шляхом представлення значення розв'язку на всіх сусідніх підобластях однією і тією ж невідомою. У дуальних методах, таких як FETI, неперервність розв'язку на поверхні підобласті забезпечується множниками Лагранжа. Метод є гібридом між дуальним та первинним методами.
Методи розкладання області без перекриття також називають ітераційними методами підструктурування ().
() — це методи дискретизації для диференціальних рівнянь в частинних похідних, які використовують окрему дискретизацію на підобластях, що не перекриваються. Сітки на підобластях не збігаються на межі розділу, а рівність розв'язку забезпечується множниками Лагранжа, обдумано вибраними для збереження точності розв'язку. В інженерній практиці методу скінченних елементів неперервність розв'язків між окремими підобластями реалізується за допомогою багатоточкових обмежень.
Моделювання методом скінченних елементів для моделей помірного розміру вимагає розв'язання лінійних систем з мільйонами невідомих. Середній час послідовного виконання становить кілька годин на кожен часовий крок, тому необхідні паралельні обчислення. Методи розкладання області мають великий потенціал для паралелізації методів скінченних елементів і слугують основою для розподілених паралельних обчислень.
Багатосіткові методи
Багатосіткові методи — це група алгоритмів для розв'язання диференціальних рівнянь з використанням ієрархії дискретизацій. Вони є прикладом класу методів, які називаються , дуже корисними у задачах з різними масштабами й не тільки в них. Наприклад, багато базових методів релаксації демонструють різні швидкості збіжності для короткохвильових та довгохвильових компонентів, що свідчить про те, що ці різні масштаби слід розглядати по-різному, як у підході Фур'є до багатосіткових систем. Багатосіткові методи можуть використовуватися як розв'язувачі та як .
Основна ідея багатосіткових методів полягає в прискоренні збіжності базового ітераційного методу шляхом глобальної корекції час від часу, що досягається шляхом розв'язання . Цей принцип подібний до інтерполяції між грубішими та дрібнішими сітками. Типове застосування багатосіткових методів полягає в чисельному розв'язанні еліптичних диференціальних рівнянь в частинних похідних у двох або більше вимірах.
Багатосіткові методи можна застосовувати в поєднанні з будь-яким із поширених методів дискретизації. Наприклад, метод скінченних елементів можна переформулювати як багатосітковий метод. У цих випадках багатосіткові методи належать до найшвидших відомих методів розв'язання. На відміну від інших методів, багатосіткові методи є загальними у тому сенсі, що вони можуть обробляти довільні області та граничні умови. Вони не залежать від або інших спеціальних властивостей рівняння. Вони також широко використовуються для складніших несиметричних та нелінійних систем рівнянь, таких як система пружності Ламе або рівняння Нав'є-Стокса.
Нейромережеві методи Фізично-інформовані нейронні мережі подають наближений розв'язок диференціального рівняння диференційовною нейронною мережею. Її параметри визначають мінімізацією функції втрат, що містить нев'язку рівняння, початкових і граничних умов та, за наявності, похибку щодо вимірюваних даних. Такі методи не потребують обчислювальної сітки з явно заданою зв'язністю елементів, однак використовують набір точок колокації, у яких перевіряють виконання рівняння. Їх застосовують як до прямих задач, так і для визначення невідомих параметрів моделі за спостереженнями.
Порівняння Метод скінченних різниць часто вважають найпростішим методом для вивчення та використання. Методи скінченних елементів та скінченних об'ємів широко використовують в інженерії та обчислювальній гідродинаміці, вони добре підходять для задач зі складною геометрією. Спектральні методи, як правило, є найточнішими, за умови, що розв'язки є достатньо гладкими.
Див. також
Чисельні методи для звичайних диференціальних рівнянь
Література
Примітки
Посилання Numerical Methods for Partial Differential Equations course at MIT OpenCourseWare. IMS, the Open Source IMTEK Mathematica Supplement Numerical PDE Techniques for Scientists and Engineers, open access Lectures and Codes for Numerical PDEs