Гексаміно — шестиклітинне поліміно, тобто плоска фігура, що складається з шести рівних квадратів, з'єднаних сторонами. З фігурами гексаміно, як і з усіма поліміно, пов'язано багато задач цікавої математики.
Якщо не вважати різними фігури, що збігаються при поворотах і дзеркальних відбиттях, то різних («вільних») форм гексаміно налічується 35 (див. рисунок). Існує 60 видів «односторонніх» гексаміно (якщо дзеркальні відбиття вважати різними фігурами) та 216 видів «фіксованих» гексаміно (різними вважаються також і повороти).
Класифікація гексаміно за симетрією 35 вільних фігур гексаміно за властивостями симетрії можна поділити на 5 категорій:
20 гексаміно (на малюнку зображені сірим кольором) асиметричні; 6 гексаміно (зображені червоним) мають вісь симетрії, паралельну лініям квадратної сітки; 2 гексаміно (зображені зеленим) мають діагональну вісь симетрії; 5 гексаміно (зображені синім) мають центральну (обертову) симетрію другого порядку; 2 гексаміно (зображені фіолетовим) мають дві осі симетрії, паралельні лініям сітки.
Для односторонніх гексаміно (тобто якщо дзеркальні відбиття фігур вважати різними), кількості в першій і четвертій категоріях подвоюються, що додає 25 гексаміно, тобто загалом 60. Для фіксованих гексаміно (тобто якщо повороти також розглядати як різні фігури) перша категорія зростає у вісім разів, порівняно з вільними гексаміно, наступні три категорії — у чотири рази, а остання категорія — удвічі. Це дасть фіксованих гексаміно.
Складання фігур із гексаміно
Хоча повний набір із 35 гексаміно має загальну площу 210 квадратів, із них неможливо скласти будь-який прямокутник такої площі (3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15) — на відміну від 12 пентаміно, з яких можна скласти будь-який із 5×12 та 6×10. Довести це можна, розфарбувавши гексаміно та прямокутник у шаховому порядку. Тоді 11 фігур гексаміно матимуть парну кількість квадратів обох кольорів (2 білих і 4 чорних або навпаки), а решта 24 гексаміно — непарну (3 білих та 3 чорних). Отже, в будь-якій фігурі, складеній із повного набору гексаміно, кількість квадратів кожного кольору буде парною. Але будь-який прямокутник із 210 квадратів матиме 105 чорних квадратів і 105 білих, тобто непарну кількість.
Проте є інші симетричні фігури з 210 квадратів, які можна скласти з гексаміно. Наприклад, квадрат 15×15 із прямокутним отвором 3×5 у центрі має 106 білих і 104 чорних квадрати (або навпаки) і його можна скласти з повного набору 35 гексаміно.
Деякі симетричні вкладання гексаміно Крім того, з 60 односторонніх гексаміно, що мають загальну площу 360 одиничних квадратів, можна скласти прямокутники 5×72, 6×60, 8×45, 9×40, 10×36, 12×30, 15×24 та 18×20.
Розгортки куба
11 із 35 фігур гексаміно є розгортками куба (див. малюнок). Скласти з них прямокутник площею 66 одиничних квадратів неможливо.
Примітки
Література