Чотирикутник — це частина площини, обмежена простою замкненою ламаною, яка містить чотири (4) ланки. Вона складається з чотирьох (4) вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.
У чотирикутнику на зображені 1 діагоналями є відрізки AC і BD.
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутнику на даному малюнку протилежними сторонами є сторони AB і CD, BC і AD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на зображені 1 позначено так: ABCD. У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник ABCD можна також позначити BCDA або DCBA. Але не можна позначити ABDC (B і D — не сусідні вершини).
Внутрішні кути простого чотирикутника ABCD мають в сумі 360 градусів, тобто
Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається периметром.
Прості чотирикутники Будь-який чотирикутник, сторони якого не перетинаються є простим чотирикутником.
Опуклі чотирикутники В опуклих чотирикутників всі внутрішні кути є меншими за 180°, а дві діагоналі знаходяться в середині чотирикутника. Неправильний чотирикутник: не має паралельних сторін. Трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельною. Рівнобічна трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельними, а кути нахилу сторін при основі є рівними. Альтернативними визначеннями є: чотирикутник що має вісь симетрії, яка перетинає пару протилежних сторін, або трапеція із діагоналями рівної довжини. Паралелограм: чотирикутник із двома парами паралельних сторін. еквівалентною умовою є те, що його протилежні сторони мають однакову довжину; що протилежні кути рівні; або що діагоналі перетинаються і ділять одна одну навпіл. До паралелограмів відноситься ромб, прямокутник, а також квадрат. Ромб: всі чотири сторони мають однакову довжину. Або еквівалентно: діагоналі перпендикулярні і перетином ділять навпіл одна одну. Не формально це є «сплюснутий квадрат» (але строго математично квадрат теж є ромбом). Ромбоїд: паралелограм в якого суміжні сторони мають різні довжини а деякі кути тупими (не має прямих кутів). Деякі джерела називають його паралелограмом, що не є ромбом. Прямокутник: всі чотири кути є прямими кутами. Еквівалентно: діагоналі мають однакову довжину і при перетині діляться навпіл. До прямокутників відноситься і квадрат. Квадрат: всі чотири сторони мають однакову довжину, а чотири кути є прямими. Діагоналі перетинають одна одну навпіл і під прямим кутом, а також мають однакову довжину. Чотирикутник є квадратом тоді і лише тоді, коли він одночасно є ромбом і прямокутником (чотири рівні сторони і чотири однакові кути). Дельтоїд: дві пари прилеглих сторін мають однакову довжину. З цього випливає, що одна з діагоналей розділяє дельтоїд на конгруентні трикутники, і два кути між парами нерівних сторін мають однакову величину. Також, його діагоналі є перпендикулярними. До дельтоїдів відноситься ромб.
Описаний чотирикутник: чотири сторони є дотичними до вписаного кола. Опуклий чотирикутник може описати коло тоді і лише тоді коли суми його протилежних сторін рівні. Описана трапеція: трапеція, чотири сторони якої є дотичними до вписаного кола. Вписаний чотирикутник: чотири вершини лежать на описаному колі. Опуклий чотирикутник є вписаним, тоді і тільки тоді коли суми протилежних кутів дорівнюють 180°. Прямокутний дельтоїд: дельтоїд, дві протилежні кути якого є прямими. Він є одним із видів вписаних чотирикутників. Біцентричний чотирикутник: чотирикутник, який одночасно є вписаним у коло і описаним колом. Ортодіагональний чотирикутник: діагоналі перетинаються під прямим кутом. Зовні-описаний чотирикутник: продовження чотирьох сторін є дотичними до зовнішнього кола. Зовні-біцентричний чотирикутник: зовні-описаний чотирикутник, який є одночасно вписаним.
Увігнуті чотирикутники В увігнутих чотирикутників, один із внутрішніх кутів є більшим за 180° а одна із двох діагоналей лежить за межами чотирикутника.
Складні чотирикутники
До складних чотирикутників відносять не правильні чотирикутники, грані яких перетинаються. Такі чотирикутники перетинають самі себе і мають ряд не формальних назв: перехрещений чотирикутник, чотирикутник-метелик або бантик. Сума внутрішніх кутів перехрещеного чотирикутника буде дорівнювати 720°, а два внутрішні кути в ньому є розгорнутими і знаходяться ззовні. Тобто перехрещеного чотирикутника, чотири «внутрішні» кути знаходяться по обидві сторони перетину (два гострих і два розгорнутих, всі з лівої сторони або з правою, в залежності від того в якому порядку перераховуються).
Перехрещена трапеція: перехрещений чотирикутник, в якому (як у трапеції) одна пара не суміжних сторін є паралельною Антипаралелограм: перехрещений чотирикутник в якого (як в паралелограма) кожна пара не суміжних сторін мають однакову довжину. Перехрещений прямокутник: це антипаралелограм, сторонами якого є дві протилежні сторони і дві діагоналі звичайного прямокутника, таким чином від має одну пару протилежних сторін, що є паралельними. Перехрещений квадрат: особливий випадок перехрещеного прямокутника, в якого дві сторони перетинаються під прямими кутами.
Повний чотирибічник
Хоча така назва може бути еквівалентна чотирикутнику, в неї часто вкладають додатковий сенс. Четвірка прямих, ніякі дві з яких не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку, називається повним чотирибічником. Така конфігурація зустрічається в деяких твердженнях евклідової геометрії (наприклад, теорема Менелая, пряма Ньютона - Гауса, пряма Обера, Теорема Мікеля тощо), в яких часто всі прямі є взаємозамінними.
Особливі відрізки Двома діагоналями опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають протилежні вершини.
Двома бімедіанами () опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають середини протилежних сторін. Вони перетинаються у точці, яка називається «центроїдом» вершин чотирикутника.
Також в опуклому чотирикутнику бівисотою () будемо називати висоту, яка має основу у середині протилежної сторони. Всього у чотирикутнику можна провести чотири бівисоти.
Площа Існує декілька загальних формул розрахунку площі S опуклого чотирикутника ABCD із сторонами .
Тригонометричні формули Площа чотирикутника може бути задана за допомогою тригонометричних функцій таким чином:
де довжини кожної діагоналі задані як e і f, а кут між ними дорівнює θ.Harries, J. "Area of a quadrilateral, " Mathematical Gazette 86, July 2002, 310—311. У випадку коли діагоналі перпендикулярні (тобто для ромба, квадрата і дельтоїда), ця формула спрощується до оскільки θ дорівнює 90°.
Площу можна розрахувати через бімедіани таким чином
Де довжини медіан дорівнюють m і n, а кут між ними дорівнює φ.
Формула БретшнайдераR. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, 2007, Dover Publ., p. 82. визначає площу черед дві сторони і два протилежних кута:
де сторони відповідно задані як a, b, c, d, і де s є півпериметром, а A і C є двома (будь-якими) протилежними кутами. Для вписаного чотирикутника цей вираз спрощується до формули Брамагупти, оскільки .
Іншою формулою для розрахунку площі через кути і сторони, де кут C знаходиться між сторонами b і c, а кут A між сторонами a та d, є
У випадку із вписаним чотирикутником, остання формула скорочується до
Для паралелограма, де обидві пари протилежних сторін і кутів є рівними, ця формула в свою чергу спрощується до виразу
Альтернативним чином, можна визначити площу чотирикутника через сторони і кут перетину його діагоналей θ, для тих випадків доки цей кут не дорівнює 90°:Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
У випадку з паралелограмом, остання формула буде виглядати як
Іншою формулою, що містить сторони a, b, c, d є .
де x є відстанню між середніми точками діагоналей, а φ є кутом між бімедіанами.
І ще однією тригонометричною формулою, що містить сторони a, b, c, d і кут α між a і b є:
що може використовуватися і як площа увігнутого чотирикутника (що має увігнуту частину протилежну до кута α) змінивши перший знак + на -.
Не-тригонометричні формули Дві наступні формули задають площу S чотирикутника через сторони a, b, c, d, напівпериметр s, і діагоналі e, f:
J. L. Coolidge, «A historically interesting formula for the area of a quadrilateral», American Mathematical Monthly, 46 (1939) 345—347.
Перше рівняння зводиться до формули Брахмагупти для вписаного чотирикутника, оскільки в такому випадку ef = ac + bd.
Площу також можна задати через бімедіани m, n і діагоналі e, f:
Archibald, R. C., «The Area of a Quadrilateral», American Mathematical Monthly, 29 (1922) pp. 29–36.
.
Насправді, будь-яке з трьох значень m, n, e, і f є достатнім для визначення площі, оскільки для будь-якого чотирикутника ці чотири значення пов'язані рівнянням Відповідними спрощеними виразами будуть такі рівняння для розрахунку площі:Josefsson, Martin (2016) ‘100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals’, The Mathematical Gazette, 100 (549), pp. 505—508.
якщо дані довжини двох бімедіан і діагональ, і
якщо відомі довжини двох діагоналей і одна бімедіана.
Векторна форма Площу чотирикутника ABCD можна розрахувати за допомогою векторів. Нехай вектори AC і BD утворюють діагоналі від A до C і від B до D. Площа чотирикутника тоді дорівнюватиме
що є половиною величини векторного добутку векторів AC і BD. У двовимірному Евклідовому просторі, вектор AC можна задати у вигляді вектора у Декартовому просторі як (x1,y1) і вектор BD як (x2,y''2), тому рівняння можна переписати таким чином:
Теореми
Добутки площ трикутників, утворених частинами діагоналей від їх країв до їх перетину і протилежними сторонами чотирикутника, рівні. Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°. У будь-якому вписаному чотирикутнику суми протилежних кутів дорівнють 180°. У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.
Діагоналі Довжина діагоналей Довжини діагоналей опуклого чотирикутника ABCD із відповідними вершинами , , , і сторонами , , , і , довжини діагоналей і можна розрахувати за допомогою теореми косинусів для кожного трикутника, що утворені діагоналями і двома сторонами чотирикутника. Таким чином
і
Інші, більш симетричні формули для знаходження довжин діагоналей:Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., "Two conditions for a quadrilateral to be cyclic expressed in terms of the lengths of its sides", Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., vol. 34 (2003) no. 5, pp. 739–799.
і
Узагальнення правила паралелограма і теореми Птолемея Для будь-якого опуклого чотирикутника ABCD, сума квадратів чотирьох сторін дорівнює сумі квадратів двох діагоналей плюс чотири квадрати відрізка, що сполучає середні точки діагоналей. Тобто
де x це відстань між середніми точками діагоналей. Це рівняння відоме як теорема Ейлера про чотирикутник і є узагальненням для правила паралелограма.
Німецький математик в 1842 вивів наступне узагальнення для теореми Птолемея, стосовно добутку діагоналей опуклого чотирикутникаAndreescu, Titu & Andrica, Dorian, Complex Numbers from A to…Z, Birkhäuser, 2006, pp. 207—209.
Це рівняння можна вважати аналогічним до теореми косинусів для чотирикутника. Для вписаного чотирикутника, в якого , це рівняння спрощується до pq = ac + bd. Оскільки , таким чином, це також доводить нерівність Птолемея.
Бімедіани
Бімедіанами чотирикутника є такі лінійні відрізки, що сполучають середні точки його протилежних сторін. Перетином бімедіан є центроїд вершин чотирикутника.Weisstein, Eric W. "Quadrilateral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html