Рівняння Емдена — Чандрасекара — безрозмірнісна форма рівняння Пуассона, що використовується для опису розподілу густини сферично симетричної ізотермічної газової сфери під дією власної сили тяжіння. Це ізотермічний випадок рівняння Лейна — Емдена, яке описує такі зірки, в яких тиск і густина пов'язані степеневим законом.
Рівняння, назване на честь Роберта Емдена та Субраманьяна Чандрасекара, не має відомого явного розв'язку і зазвичай розв'язується чисельноChandrasekhar, Subrahmanyan, and Subrahmanyan Chandrasekhar. An introduction to the study of stellar structure. Vol. 2. Courier Corporation, 1958.Chandrasekhar, S., and Gordon W. Wares. «The Isothermal Function.» The Astrophysical Journal 109 (1949): 551—554.http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1949ApJ...109..551C&defaultprint=YES&filetype=.pdf.
Вперше рівняння було запропоновано Робертом ЕмденомEmden, R. (1907). Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische und meteorologische Probleme. B. Teubner. в 1907 році та має вигляд:
де — безрозмірнісний радіус, а — величина, пов'язана з густиною газової сфери як , де — густина газу в центрі сфери.
Рівняння не має відомого явного розв'язку. Якщо замість ізотермічної рідини використовується політропна рідина, отримується рівняння Лейна — Емдена. Ізотермічне припущення зазвичай моделюється для опису ядра зірки.
Рівняння розв'язується з початковими умовами
при
Це рівняння зустрічається і в інших розділах фізики, наприклад, те саме рівняння зустрічається в для сферичної посудини.
Релятивістську версію цієї сферично симетричної ізотермічної моделі вивчав Субраманьян Чандрасекар у 1972 роціChandrasekhar, S. (1972). A limiting case of relativistic equilibrium. In General Relativity (in honor of J. L. Synge), ed. L. O'Raifeartaigh. Oxford. Clarendon Press (pp. 185—199)..
Виведення рівняння Емдена — Чандрасекара
Для ізотермічної газової зірки тиск 𝑝 зумовлений кінетичним тиском та тиском випромінювання
, де:
— густина, — стала Больцмана, – середня молярна маса, – температура зорі, — стала Стефана — Больцмана, — швидкість світла у вакуумі.
Рівняння рівноваги зірки вимагає балансу між силою тиску та силою гравітації:
– радіус, виміряний від центру, а — гравітаційна стала.
Перепишемо рівняння як:
І отримуємо перетворення: .
Граничні умови та розклад в ряд Щоб змоделювати зорю, ми шукаємо частинний розв'язок, який є гладким у центрі, тобто коли . Для того, аби його знайти, ми вимагаємо, щоб усі параметри зорі (температура, густина) плавно змінювалися і залишалися скінченними аж до її ядра.
Відповідні граничні умови:
— умова нормування, що забезпечує , де — густина в центрі зорі. — умова симетрії та відсутності сингулярності сили тяжіння в центрі (градієнт густини та тиску дорівнює нулю).
Поблизу нуля , функцію можна розкласти в ряд Тейлора:
Обмеження моделі Припущення, що сфера ізотермічна, має деякі недоліки. Хоча густина, отримана як розв'язок цієї ізотермічної газової сфери, зменшується від центру, вона зменшується занадто повільно, щоб дати чітко визначену поверхню та скінченну масу для сфери. Можна показати, що, оскільки , то:
та — константи, які будуть отримані за допомогою числового розв'язку.
Така поведінка густини призводить до збільшення маси зі збільшенням радіуса. Таким чином, модель зазвичай справедлива для опису ядра зірки, де температура приблизно постійнаHenrich, L. R., & Chandrasekhar, S. (1941). Stellar Models with Isothermal Cores. The Astrophysical Journal, 94, 525..
Особливий розв'язок Введення перетворення перетворює рівняння на .
Останнє рівняння має особливий розв'язок: , або
Звідси, можемо ввести нову змінну , де рівняння для може бути розв'язане як:
, де також було введено заміну: .
Це рівняння можна звести до першого порядку, ввівши , звідки
Скорочення Існує ще одне скорочення, здійснене Едвардом Артуром Мілном. Можна визначити попередні відомі нам значення через нові змінні та , тоді ми матимемо:
і згодом, з вихідного рівняння , перетворюючи:
Поділимо на :
Виражаємо похідні першого порядку, з першої заміни:
Підставимо це у вихідне рівняння:
Тепер підставимо та отримуємо:
Звідси виражаємо похідну другого порядку:
Ми переходимо від змінної до змінної , тому потрібно знайти співвідношення між та :
Диференціюємо по :
Підставимо та :
Тепер розділимо змінні, підставляючи отримані попередньо значення: та скорочуємо на : , множимо обидві частини на : , скорочуємо та :
Скорочення рівняння набуває вигляду:
Див. також
Межа Чандрасекара Субраманьян Чандрасекар Роберт Емден
Примітки