У розважальній математиці полігекс — поліформа на основі правильного шестикутника («гексагона»), побудована об'єднанням одного або кількох шестикутників. Конкретні форми називають за кількістю шестикутників: моногекс, дигекс, тригекс, тетрагекс тощо. Назву дав , який їх досліджував.

Кожну окрему плитку та замощення полігексами можна намалювати на правильному шестикутному паркеті.

Правила побудов Правила з'єднання шестикутників можуть відрізнятися. Однак, загалом, застосовують такі правила:

Два шестикутники можна з'єднувати лише вздовж спільної сторони, причому спільною має бути вся її довжина. Жодні два шестикутники не можуть перекриватися. Полігекс має бути зв'язним. Конфігурації з незв'язаних базових шестикутників не відносять до полігексів. Дзеркальне відбиття асиметричного полігекса не вважається окремим полігексом (полігекси «двосторонні»).

Властивості замощень

Усі полігекси з менш ніж п'яти шестикутників можуть утворювати принаймні одне правильне плоске замощення.

Крім того, плоскі замощення дигексами та прямими полігексами інваріантні відносно повороту на 180° або відбиття паралельно чи перпендикулярно до довгої осі дигекса (обертова симетрія 2-го порядку та відбивна симетрія 4-го порядку), а замощення шестикутниками та деякими іншими полігексами (наприклад, гексагексами з одним отвором) інваріантні відносно повороту на 60°, 120° або 180° (обертова симетрія 6-го порядку).

Крім того, шестикутник є гексиамантом, тому кожен із полігексів також є поліамантом. Також, оскільки рівносторонній трикутник складається з шестикутника і трьох менших рівносторонніх трикутників, можна накласти великий поліамант на будь-який полігекс, отримавши два поліамонди, що відповідають кожному полігексу. Це використовують як основу для нескінченного поділу шестикутника на все менші шестикутники (неповторне мозаїчне розбиття) або на шестикутники та трикутники.

Перелік

Як і у випадку з поліміно, полігекси можна розглядати як вільні (якщо повороти та відбиття дають однакову форму), фіксовані (якщо різні орієнтації вважаються різними формами) та односторонні (де дзеркальні відбиття вважаються різними, але повернуті фігури вважаються ідентичними). Їх також можна розрізняти за наявністю отворів. Кількість вільних -гексів для  = 1, 2, 3, … дорівнює 1, 1, 3, 7, 22, 82, 333, 1448, … (); кількість вільних полігексів з отворами визначається послідовністю ; кількість вільних полігексів без отворів визначається за ; кількість односторонніх полігексів визначається за ; кількість фіксованих полігексів визначається за допомогою .Glenn C. Rhoads, Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds, Journal of Computational and Applied Mathematics 174 (2005), No. 2, pp 329—353

н Вільні Вільній з отворами Вільні без отворів Односторонні Фіксовані 1 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 3 3 0 3 3 11 4 7 0 7 10 44 5 22 0 22 33 186 6 82 1 81 147 814 7 333 2 331 620 3652 8 1448 13 1435 2821 16689 9 6572 67 6505 12942 77359 10 30490 404 30086 60639 362671 11 143552 2323 141229 286190 1716033 12 683101 13517 669584 1364621 8182213

Симетрія З полігексів аж до гексагексів, 2, а саме моногекс та гексагекс з отвором, мають 6-кратну обертову симетрію та відбиття (а отже, також 3-кратну та 2-кратну симетрію), 3 інші мають 3-кратне обертову симетрію (компактний тригекс, пропелерний тетрагекс та гексагекс у формі рівностороннього трикутника) та 3-кратну відбивну симетрію, 9 інших мають 2-кратну обертову та відбивну симетрію, 8 мають лише 2-кратну обертову, 16 мають лише 2-кратну відбивну, а інші 78 (більшість тетрагексів, пентагексів або гексагексів) — асиметричні. Мозаїки більшості полігексів із відбивною симетрією також інваріантні відносно ковзних відбиттів того ж порядку на довжину полігекса.

Моногекси Є один моногекс. Він замощує площину, утворюючи правильну шестикутну мозаїку.

Дигекси Є один вільний дигекс:

Тригекси Існує 3 вільних та двосторонніх тригекси:

Тетрагекси Існує 7 вільних двосторонніх тетрагексів. Їм надано назви (див. мал.): стрижень, черв'як, пістолет, пропелер, арка, бджола та хвиля.Gardner, M. Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, p. 147, 1978. PDF

Пентагекси Існує 22 вільних та двосторонніх пентагекси:

Гексагекси Існує 82 вільних двосторонніх гексагекси:

Див. також Теселяція Теорія протікання Поліамант — мозаїки з рівносторонніх трикутників Поліміно — мозаїки з квадратів Поліциклічні ароматичні вуглеводні — вуглеводні, структура яких ґрунтується на полігексах

Примітки