Для ширшого висвітлення цієї теми див. Робастну регресію.

У оцінювач Тейла–Сена — це метод робастного наближення прямої до вибіркових точок на площині (форма простої лінійної регресії), який полягає у виборі медіани нахилів усіх прямих, проведених через пари точок. Його також називають оцінювачем нахилу Сена,. вибором нахилу, методом одиничної медіани, робастним методом апроксимації прямої Кендалла,; . та робастною прямою Кендалла–Тейла. Назву він отримав на честь та , які опублікували роботи з цього методу у 1950 та 1968 роках відповідно,; а також на честь через його зв'язок із коефіцієнтом кореляції рангу Кендалла.

Регресія Тейла–Сена має кілька переваг порівняно з регресією . Вона є нечутливою до викидів. Її можна використовувати для перевірки статистичної значущості навіть тоді, коли залишки не мають нормального розподілу. Вона може бути значно точнішою за неробастну просту лінійну регресію () для асиметричних та гетероскедастичних даних і добре конкурує з методом найменших квадратів навіть для нормально розподілених даних за показником статистичної потужності. Її називали «найпопулярнішою непараметричною технікою для оцінювання лінійного тренду».. Існують швидкі алгоритми для ефективного обчислення її параметрів.

Визначення Згідно з визначенням , оцінювач Тейла–Сена для набору двовимірних точок є медіаною нахилів , обчислених для всіх пар вибіркових точок. розширив це визначення для випадку, коли дві точки даних мають однакову координату . У визначенні Сена береться медіана нахилів, визначених лише за тими парами точок, які мають різні значення .

Після визначення нахилу пряму за вибірковими точками можна задати, встановивши рівним медіані значень ​. Отримана лінія апроксимації має вигляд з коефіцієнтами і у формі «нахил–перетин». Як зауважив Сен, такий вибір нахилу призводить до того, що коефіцієнт кореляції рангу Кендалла стає приблизно нульовим, коли його використовують для порівняння значень ​ із відповідними залишками . Інтуїтивно це означає, що те, наскільки лінія апроксимації проходить вище або нижче точки даних, не корелює з тим, чи розташована ця точка зліва чи справа в наборі даних. Вибір не впливає на коефіцієнт Кендалла, але робить медіану залишків приблизно нульовою; тобто лінія апроксимації проходить вище й нижче однакової кількості точок.; .

Довірчий інтервал для оцінки нахилу можна визначити як інтервал, що містить середні 95 % нахилів прямих, побудованих за парами точок,For determining confidence intervals, pairs of points must be sampled With_replacement; this means that the set of pairs used in this calculation includes pairs in which both points are the same as each other. These pairs are always outside the confidence interval, because they do not determine a well-defined slope value, but using them as part of the calculation causes the confidence interval to be wider than it would be without them. і його можна швидко оцінити шляхом вибіркового відбору пар точок і визначення 95%-го інтервалу для отриманих нахилів. Згідно з результатами моделювання, приблизно 600 вибраних пар точок є достатніми для визначення точного довірчого інтервалу..

Варіації Одна з варіацій оцінювача Тейла–Сена — Зігеля — для кожної вибіркової точки визначає медіану нахилів прямих, що проходять через цю точку, а потім як загальний оцінювач бере медіану цих медіан. Вона здатна витримувати більшу кількість викидів, ніж оцінювач Тейла–Сена, однак відомі алгоритми її ефективного обчислення є складнішими й менш практичними., Section 8.2.7 Robust regression;

Інший варіант попарно зіставляє вибіркові точки за рангом їхніх -координат: точка з найменшою координатою поєднується з першою точкою вище медіанної координати, друга найменша — з наступною точкою вище медіани і так далі. Після цього обчислюється медіана нахилів прямих, визначених цими парами точок, що забезпечує більшу швидкість завдяки розгляду значно меншої кількості пар, ніж у методі Тейла–Сена..

Також досліджувалися варіації оцінювача Тейла–Сена, засновані на , виходячи з принципу, що пари вибірок, у яких -координати сильніше відрізняються, з більшою ймовірністю мають точніший нахил і тому повинні отримувати більшу вагу.; ; ; .

Для сезонних даних може бути доцільним згладжувати сезонні коливання, розглядаючи лише ті пари вибіркових точок, які належать до одного й того самого місяця або пори року, і знаходити медіану нахилів прямих, визначених цим більш обмеженим набором пар..

Статистичні властивості Оцінювач Тейла–Сена є істинного нахилу у простій лінійній регресії., Theorem 5.1, p. 1384; . Для багатьох розподілів похибки відгуку цей оцінювач має високу порівняно з методом найменших квадратів., Section 6; . Оцінювачі з низькою ефективністю потребують більшої кількості незалежних спостережень, щоб досягти того ж розсіювання вибірки, що й ефективні неспотворені оцінювачі.

Оцінювач Тейла–Сена є більш робастним, ніж оцінювач методом найменших квадратів, оскільки він значно менше чутливий до викидів. Його точка перелому дорівнює

що означає, що він може витримати довільне пошкодження до 29,3 % вхідних даних без зниження точності., pp. 67, 164. Однак точка перелому зменшується для узагальнень методу на вищі виміри. Вищу точку перелому, 50 %, має інший робастний алгоритм апроксимації прямої — Зігеля.

Оцінювач Тейла–Сена є щодо будь-якої лінійної трансформації змінної відгуку, тобто якщо спочатку трансформувати дані, а потім підібрати пряму, або спочатку підібрати пряму, а потім трансформувати її таким же способом, результат буде однаковим., p. 1383. Проте він не є еквіаріантним щодо афінних перетворень одночасно предиктора і змінної відгуку..

Алгоримти Медіану нахилів для набору з вибіркових точок можна обчислити точно, побудувавши всі прямих через пари точок і застосувавши алгоритм пошуку медіани за лінійний час. Альтернативно, її можна оцінити шляхом вибірки пар точок. Ця задача еквівалентна, у термінах проєктивної дуальності, задачі знаходження точки перетину в конфігурації прямих, яка має медіанну -координату серед усіх таких точок перетину.

Питання точного, але більш ефективного за квадратичний перебір обчислення нахилу широко досліджувалося в обчислювальній геометрії. Відомо кілька методів для точного обчислення оцінювача Тейла–Сена за час , як детермінованих,; ; . так і з використанням рандомізованих алгоритмів.; ; . Оцінювач повторної медіани Зігеля також можна побудувати в тих самих часових межах. У моделях обчислень, де координати вхідних даних є цілими числами, а бітові операції над цілими числами виконуються за константний час, оцінювач Тейла–Сена можна побудувати ще швидше — у рандомізований очікуваний час .

Оцінювач нахилу з приблизно медіанним рангом, який має ту саму точку ламання, що й оцінювач Тейла–Сена, можна підтримувати у моделі потокових даних (коли вибіркові точки обробляються одна за одною алгоритмом, який не має достатньо постійної пам'яті для збереження всього набору даних) за допомогою алгоритму, що базується на .

Реалізації У статистичному пакеті R як оцінювач Тейла–Сена, так і оцінювач повторної медіани Зігеля доступні через бібліотеку mblm., p. 237; Безкоштовний окремий додаток на Visual Basic для оцінювання за методом Тейла–Сена, KTRLine, був наданий Геологічною службою США.; Оцінювач Тейла–Сена також реалізований у Python як частина бібліотек SciPy та scikit-learn.;

Застосування Оцінювання Тейла–Сена застосовувалося в астрономії завдяки здатності обробляти . У біофізиці пропонують його використання для дистанційного зондування, наприклад для оцінки площі листя за даними відбивної здатності, через його «простоту обчислень, аналітичну оцінку довірчих інтервалів, робастність до викидів, перевірювані припущення щодо залишків та обмежену апріорну інформацію про похибки вимірювань». Для вимірювання сезонних екологічних даних, таких як якість води, пропонується сезонно скоригована варіація оцінювача Тейла–Сена, яка є переважною порівняно з методом найменших квадратів через високу точність при наявності асиметричних даних. У комп'ютерних науках метод Тейла–Сена використовували для оцінки трендів . У метеорології та кліматології його застосовували для оцінки довгострокових тенденцій виникнення та швидкості вітру.

Див. також

 — ще одна проблема, що впливає на оцінені нахили трендів.

Notes

References

. . . . . . . . . . . . . .

. . .

. . . .

. . .

. . . . . .

. . . .