Некомутативна геометрія (НКГ) — розділ математики, присвячений геометричному підходу до Некомутативна алгебра — асоціативна алгебра, в якій множення не є комутативним, тобто, для якої не завжди дорівнює ; або, в загальніше, алгебрична структура в якій одна з основних бінарних операцій не є комутативною; вона також дає змогу використовувати додаткові структури, наприклад топологію або норму, можливо, за допомогою некомутативної алгебри функцій. і побудові «просторів», які локально подані некомутативними алгебрами функцій (можливо, в деякому узагальненому сенсі).

Підхід, що дає глибоке уявлення про некомутативні простори, полягає у використанні операторних алгебр (тобто алгебр обмежених лінійних операторів на гільбертовому просторі). Одним із базових прикладів некомутативного простору є , які відіграли ключову роль у ранньому розвитку цієї галузі в 1980-х роках і привели до некомутативних версій векторних розшарувань, зв'язностей, кривини тощо.

Основні ідеї Основною ідеєю некомутативної геометрії є переформулювання понять топології, аналізу, диференціальної геометрії мовою банахових алгебр. Ввведение в некоммутативную геометрию

У математиці «простору», геометричні об'єкти за своєю природою можна пов'язати зі множиною функцій на них. Загалом такі функції утворюватимуть комутативне кільце. Наприклад, можна взяти кільце неперервних комплекснозначних функцій на топологічному просторі . У багатьох випадках (наприклад, якщо є компактним гаусдорфовим простором. однозначно відновлюється за тому можна в деякому сенсі говорити, що має «комутативну топологію».

Конкретніше, в топології компактні топологічні гаусдорфові простори можна відновити за банаховою алгеброю функцій на просторі (див. і ). У комутативній алгебричній геометрії алгебричні схеми є локально простими спектрами комутативних кілець з одиницею (А. Гротендік), і кожну квазівідокремлювану схему можна відновити з точністю до ізоморфізму схем за категорією квазікогерентних пучків -модулів (П. Габріель, А. Розенберг). Для когомологічні властивості сайта є інваріантами відповідної категорії пучків множин, що розглядаються абстрактно як топос (А. Гротендік). У всіх цих випадках простір відновлюється з алгебри функцій або категоризованої її версії — певної категорії пучків на цьому просторі.

Функції в топологічному просторі можна множити і підсумовувати точково, отже вони утворюють комутативну алгебру; насправді ці операції локальні в топології базового простору, отже функції утворюють пучок комутативних кілець над базовим простором.

Ідея некомутативної геометрії полягає в тому, щоб спробувати узагальнити цю двоїстість на двоїстість між некомутативними алгебрами, або пучками некомутативних алгебр, або іншими структурами зі схожими властивостями і геометричними об'єктами певних видів так, щоб властивості їх алгебричного і геометричного описів виявилися взаємопов'язаними.

Оскільки комутативні кільця відповідають звичайним афінним схемам, а комутативні C*-алгебри — звичайним топологічним просторам, розширення до некомутативних кілець і алгебр вимагає нетривіального узагальнення топологічних просторів як «некомутативних просторів». Тому іноді вживають термін " ", хоча він має й інші значення.

Застосування в математичній фізиці Некомутативна геометрія застосовується в квантовій теорії поля та теорії струн. Деякі застосування у фізиці елементарних частинок описано в статтях та . Інтерес до некомутативної геометрії у фізиці раптово зріс після припущень про її роль у М-теорії, зроблених 1997 року.

Зв'язок з ергодичною теорією Частина теорії, яку Ален Конн розробив для застосування некомутативної геометрії, технічно сягає корінням у давніші спроби, зокрема в ергодичну теорію. Зокрема нині вже реалізовано пропозицію Джорджа Мекі створити теорію «віртуальних підгруп», стосовно якої ергодичні групові дії стали б однорідними просторами розширеного вигляду.

Некомутативні C*-алгебри, алгебри фон Неймана За аналогією з , яке показує, що комутативні -алгебри є двоїстими для локально компактних гаусдорфових просторів, формально двоїсті до некомутативних C*-алгебр об'єкти часто називають некомутативними просторами. В загальному випадку, з будь-якою -алгеброю можна пов'язати топологічний простір ; див. .

Через двоїстість між просторами зі сигма-скінченною мірою і комутативними алгебрами фон Неймана, некомутативні алгебри фон Неймана називають «некомутативними просторами з мірою».

Некомутативні диференційовані многовиди Гладкий ріманів многовид  — не просто топологічний простір, на ньому є багато додаткових структур. Але за його алгеброю неперервних функцій можна відновити тільки як топологічний простір. Алгебричний інваріант, який дає змогу відновити ріманову структуру — це , яку будують так. Нехай є гладке векторне розшарування над , наприклад, розшарування зовнішньої алгебри. Гільбертів простір перерізів , квадрат яких інтегровний, містить представлення операторами множення. Можна розглянути необмежений оператор в із компактною резольвентою (наприклад, ), такий, що для всіх гладких комутатори обмежені. Недавно доведено глибоку теорему, яка стверджує, що за алгеброю , її дією на простір і оператором можна відновити як ріманів многовид.

Це означає, що некомутативний ріманів многовид можна визначити як спектральну трійку , яка складається з представлення -алгебри в гільбертовому просторі , разом із необмеженим оператором на із компактною резольвентою, такою, що комутатор обмежений для всіх в деякій щільній подалгебрі . Тривають активні дослідження спектральних трійок і побудовано багато прикладів некомутативних многовидів.

Некомутативні афінні та проєктивні схеми За аналогією з двоїстістю між афінними схемами та комутативними кільцями можна визначити категорію «некомутативних афінних схем» як двоїсту категорії асоціативних кілець із одиницею. У цьому контексті існують певні аналоги топології Зариського, що дають змогу «склеювати» такі афінні схеми, утворюючи загальніші об'єкти.

Існують також некомутативні узагальнення конструкцій і для комутативних градуйованих кілець, які імітують теорему Серра про проєктивізацію. А саме, категорія квазікогерентних пучків O-модулів на -і комутативної градуйованої алгебри еквівалентна категорії градуйованих модулів над кільцем, у підкатегорії Серра градуйованих модулів скінченної довжини; існує також аналогічна теорема для когерентних пучків, коли алгебра нетерівська. Цю теорему розширили як визначення «некомутативної проєктивної геометрії» та Дж. Дж. Чжан, які додали також деякі загальні умови теорії кілець (наприклад, регулярність Артіна — Шелтера).

Багато властивостей проєктивних схем поширюються на цей контекст. Наприклад, існує аналог знаменитої двоїстості Серра для некомутативних проєктивних схем Артіна та Чжана.

А. Л. Розенберг створив досить загальну концепцію «некомутативної квазікомпактної схеми» (над базовою категорією), перекладаючи дослідження Гротендіка морфізмів схем та покриттів абстрактною мовою категорій квазікогерентних пучків та функторів плоскої локалізації.A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93—125,doi; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, dvi , ps ; lecture Noncommutative schemes and spaces (Feb 2000): video

Існує ще один цікавий підхід за допомогою теорії локалізації завдяки , Люку Віллерту та Алену Вершорену, де основною концепцією є концепція «схематичної алгебри».Freddy van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras,  — New York: Dekker, 2000.- 287 p. — (Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 232)

Інваріанти для некомутативних просторів Деякі з мотиваційних питань теорії пов'язані з поширенням відомих топологічних інваріантів на формально двоїсті до некомутативних (операторних) алгебр та інші варіанти некомутативних просторів. Однією з головних початкових точок досліджень Алена Конна в некомутативній геометрії є його відкриття нової теорії гомологій, пов'язаної з некомутативними асоціативними алгебрами і некомутативними операторними алгебрами, а саме та їх зв'язок з алгебричною K-теорією (основну роль відіграє відображення характерів Конна Ч ерна).

За допомогою операторної та теорію характеристичних класів гладких многовидів розширено до спектральних трійок. Декілька узагальнень нині класичних теорем про індекс дають змогу ефективно добувати числові інваріанти зі спектральних трійок. Фундаментальний характеристичний клас у циклічних когомологіях, , узагальнює класичний характер Чженя.

Приклади некомутативних просторів

У представленні фазового простору квантової механіки симплектичний фазовий простір із класичної механіки в некомутативний фазовий простір, генерований операторами координати та імпульсу. як розширення стандартної моделі фізики елементарних частинок. , який є деформацією функціональної алгебри звичайного тора, можна задати структурою спектральної трійки. Цей клас прикладів інтенсивно вивчався і досі використовується як тестовий приклад для складніших ситуацій. Простір Снайдера Некомутативні алгебри, що виникають із шарувань. Приклади, пов'язані з динамічними системами, які походять із теорії чисел, такі як зсув Гаусса на ланцюгових дробах, приводять до некомутативних алгебр, які, мабуть, мають цікаві некомутативні геометрії.

Див. також Комутативність Представлення фазового простору

Примітки

Посилання

Література

Посилання

Introduction to Quantum Geometry by Micho Đurđevich

(An easier introduction that is still rather technical) Noncommutative geometry on arxiv.org MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry

Noncommutative geometry and particle physics