Квадратура параболи () — це трактат з геометрії, написаний Архімедом у III столітті до н. е. і адресований його александрійському знайомому Досіфею. Трактат містить 24 твердження, що стосуються парабол, і завершується двома доведеннями того, що площа параболічного сегмента (області, обмеженої параболою та прямою) дорівнює площі певного вписаного трикутника.

Це одна з найвідоміших праць Архімеда, зокрема завдяки його винахідливому застосуванню методу вичерпування та використанню геометричної прогресії у другій частині трактату. Архімед розбиває площу на нескінченну кількість трикутників, площі яких утворюють геометричну прогресію. Потім він обчислює суму цієї геометричної прогресії й доводить, що вона дорівнює площі параболічного сегмента. Це є найскладнішим застосуванням методу доведення до абсурду в античній грецькій математиці; розв'язання Архімеда залишалося неперевершеним аж до появи інтегрального числення у XVII столітті, після чого було доповнене .

Основна теорема Параболічний сегмент — це область, обмежена параболою та прямою. Для знаходження площі такого сегмента Архімед розглядає певний вписаний трикутник. Основою цього трикутника є задана хорда параболи, а третьою вершиною — точка на параболі, в якій дотична до параболи паралельна цій хорді. У першому твердженні трактату зазначено, що пряма, проведена з третьої вершини паралельно осі, ділить хорду на рівні відрізки. Головна теорема стверджує, що площа параболічного сегмента становить площі вписаного трикутника.

Структура тексту

Конічні перерізи, зокрема парабола, були добре відомі вже за часів Архімеда завдяки працям Менехма, виконаним століттям раніше. Однак до появи диференціального та інтегрального числення не існувало простих засобів для знаходження площі конічного перерізу. Архімед подає перше засвідчене розв'язання цієї задачі, зосереджуючись саме на площі, обмеженій параболою та хордою.

Архімед наводить два доведення основної теореми: одне з використанням абстрактної механіки, а друге — суто геометричне. У першому доведенні він розглядає важіль, що перебуває в рівновазі під дією сили тяжіння, на якому на певних відстанях від точки опори підвішені зважені відрізки параболи та трикутника. Коли центр мас трикутника відомий, умова рівноваги важеля дає змогу виразити площу параболічного сегмента через площу трикутника з тією самою основою та рівною висотою. Тут Архімед відхиляється від процедури, викладеної в трактаті Про рівновагу площин, оскільки центри мас розташовані нижче рівня терезів. Друге, більш відоме доведення, базується на чистій геометрії, зокрема на сумі геометричної прогресії.

Із двадцяти чотирьох тверджень перші три наведено без доведення — вони запозичені з Елементів конічних перетинів Евкліда (втрачена праця Евкліда про конічні перерізи). Твердження 4 та 5 встановлюють елементарні властивості параболи. Твердження 6-17 містять механічне доведення основної теореми, а твердження 18-24 — геометричне.

Геометричне доведення

Розбиття параболічного сегмента Основною ідеєю доведення є розбиття параболічного сегмента на нескінченну кількість трикутників, як показано на рисунку праворуч. Кожен із цих трикутників вписаний у власний параболічний сегмент так само, як синій трикутник вписаний у великий сегмент.

Площі трикутників У твердженнях 18–21 Архімед доводить, що площа кожного зеленого трикутника становить площі синього трикутника, так що разом обидва зелені трикутники мають площу площі синього трикутника. З погляду сучасної математики це пояснюється тим, що зелений трикутник має ширини та висоти синього трикутникаЗелений трикутник має ширини синього трикутника за побудовою. Твердження про висоту випливає з геометричних властивостей параболи і його легко довести за допомогою сучасної аналітичної геометрії.:

Аналогічно, кожен із жовтих трикутників має площі зеленого трикутника, або площі синього трикутника, так що разом вони становлять площі синього трикутника; кожен із восьми червоних трикутників має площі жовтого трикутника, що дорівнює площі синього трикутника тощо. Використовуючи метод вичерпування, одержуємо, що повна площа параболічного сегмента дорівнює

Тут T позначає площу великого синього трикутника, другий доданок — сумарну площу двох зелених трикутників, третій — сумарну площу чотирьох жовтих трикутників і так далі. Це зводиться до виразу

Сума ряду

Щоб завершити доведення, Архімед показує, що

Наведена формула є геометричним рядом, у якому кожний наступний член становить одну четверту попереднього. У сучасній математиці ця формула є окремим випадком загальної формули суми геометричного ряду.

Архімед обчислює цю суму, використовуючи цілком геометричний методСтрого кажучи, Архімед обчислює часткові суми цього ряду та використовує властивість Архімеда щоб стверджувати, що часткові суми стають як завгодно близькими до . Це логічно еквівалентно сучасній ідеї підсумовування нескінченного ряду., проілюстрований на сусідньому рисунку. На ньому зображено одиничний квадрат, розсічений на нескінченну кількість менших квадратів. Кожний наступний фіолетовий квадрат має площу, що дорівнює одній четверті площі попереднього, а сумарна площа фіолетових квадратів дорівнює

Однак фіолетові квадрати рівні за площею кожній із двох множин жовтих квадратів і тому покривають площі одиничного квадрата. Звідси випливає, що наведений вище ряд має суму (оскільки

Див. також

Квадратура (математика) Історія обчислень

Примітки

Додаткова інформація

. Dijksterhuis, E.J. (1987) «Archimedes», Princeton U. Press .

.

.

.

Посилання

Full text, as translated by T.L. Heath. . Text of propositions 1–3 and 20–24, with commentary. http://planetmath.org/ArchimedesCalculus