Задача Архімеда про худобу (також або ) — це задача з діофантового аналізу, тобто розділу математики, що вивчає поліноміальні рівняння з цілими розв'язками. Її приписують Архімеду; задача полягає в обчисленні кількості худоби в стаді бога Сонця на підставі заданого набору обмежень. Задачу було виявлено Готгольдом Ефраїмом Лессінгом у 1773 році в грецькому рукописі, що містив поему з 44 рядків, у бібліотеці герцога Августа в Вольфенбюттелі, Німеччина From pp. 422—423: «» (Бо, як сказано [вище], ця задача [грец.: ΠΡΟΒΛΗΜΑ] навіть якщо вона й не була складена самим Архімедом [грец.: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], усе ж була ним визнана настільки гідною, що він надіслав би її Ератосфенові [грец.: ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], аби передати її для розв'язання землемірові в Александрії. Про це йдеться в заголовку;…) Див. стор. 423—424 (грец.)..
Протягом багатьох років задача залишалася нерозв'язаною, частково через складність обчислення надзвичайно великих чисел, що виникають у розв'язку. Загальний розв'язок було знайдено у 1880 році (1845—1916), директором гімназії Святого Хреста () у Дрездені, НімеччинаБіографічні відомості про Авґуста Амтора: Повне ім'я Амтора наведено в джерелі: Коротка біографічна довідка про Амтора міститься в: Задача була незалежно розв'язана у 1895 році Адамом Генрі Беллом, землеміром і інженером-будівельником із Гіллсборо, штат Іллінойс, США. Див.:
Повне ім'я Белла наведено в: ; see p. 1050. Відомості про фах Белла наведено в: ; see p. 664.. Користуючись таблицями логарифмів, він обчислив перші цифри найменшого розв'язку й показав, що він становить приблизно голів худоби — значно більше, ніж могло б уміститися у видимому всесвіті. Десятковий запис цього числа надто довгий, щоб людина могла обчислити його вручну, однак пакети довгої арифметики на комп'ютерах здатні виписати його повністю.
Історія У 1769 році Готгольд Ефраїм Лессінг був призначений бібліотекарем бібліотеки герцога Августа у Вольфенбюттелі (Німеччина), яка містила багато грецьких і латинських рукописів. Через кілька років Лессінг опублікував переклади деяких із цих рукописів із коментарями. Серед них була грецька поема з сорока чотирьох рядків, що містила арифметичну задачу, в якій читачеві пропонувалося знайти кількість . Нині загальноприйнято вважати, що її автором є Архімед.
Задача Задача, у перекладі англійською мовою Айвора Томаса, формулюється так: Якщо ти старанний і мудрий, о чужинцю, обчисли кількість , що колись паслася на полях острова Тринакрія (Сицилія), поділеної на чотири стада різного кольору: одне — молочно-біле, друге — блискучо-чорне, третє — жовте, а четверте — рябе. У кожному стаді були бики, величні числом, у таких пропорціях: зрозумій, чужинцю, що кількість білих биків дорівнювала половині й третині кількості чорних разом із усією кількістю жовтих; тоді як чорних було стільки, скільки становила четверта частина й п'ята частина рябих разом із, знову ж таки, усією кількістю жовтих. Зауваж далі, що решта биків — рябі — дорівнювали шостій частині й сьомій частині білих разом із усією кількістю жовтих. Ось такими були пропорції корів: білі були точно рівні третій і четвертій частинам усього чорного стада; чорні ж дорівнювали знову четвертій частині й разом із нею п'ятій частині рябих, коли всі — разом із биками — виходили на пасовище. Рябі ж, узяті в чотирьох частинах, за кількістю дорівнювали п'ятій і шостій частинам жовтого стада. Нарешті, жовті за кількістю дорівнювали шостій і сьомій частинам білого стада. Якщо ти зможеш точно назвати, о чужинцю, кількість худоби Сонця, вказавши окремо число добре вгодованих биків і, знову ж таки, число самиць для кожного кольору, тебе не назвуть недосвідченим чи невігласом у числах, але ти ще не будеш зарахований до мудрих.
Але прийди й збагни також усі наступні умови щодо худоби Сонця. Коли білі бики об'єдналися числом із чорними, вони стояли непорушно, рівні у глибину та ширину, і рівнини Тринакрії, що простягалися далеко у всіх напрямках, були заповнені їхньою безліччю. Знову ж, коли жовтих і рябих биків зібрали в одне стадо, вони стояли так, що їхня кількість, починаючи з одиниці, повільно зростала, доки не утворила трикутну фігуру, при цьому серед них не було биків інших кольорів і жодного не бракувало. Якщо ти здатен, о чужинцю, з'ясувати все це й зібрати в своєму розумі, подавши всі співвідношення, ти підеш увінчаний славою й знатимеш, що тебе визнано досконалим у цьому роді мудрості.
Розв'язання Першу частину задачі можна легко розв'язати, склавши систему рівнянь. Якщо кількість білих, чорних, рябих і жовтих биків позначити відповідно та , а кількість білих, чорних, рябих і жовтих корів — та , то задача зводиться до знаходження розв'язку системи
Це система з семи рівнянь із вісьмома невідомими. Вона є і має нескінченно багато розв'язків. Найменші додатні цілі числа, що задовольняють ці сім рівнянь, такі
Загалом це становить голови худоби, а всі інші розв'язки є цілими кратними цих чисел. Зауважимо, що для простого числа p = 4657 перші чотири числа є кратними p, і як p, так і p + 1 неодноразово з'являтимуться далі.
У другій частині задачі стверджується, що є квадратним числом, а — трикутним числом. Загальний розв'язок цієї частини вперше знайшов А. Амтор у 1880 році. Наступну його версію описав , спираючись на рівняння Пелля: наведений вище розв'язок першої частини задачі слід помножити на
де j — будь-яке додатне ціле число, а
Еквівалентно, піднесення x до квадрата дає
де —фундаментальний розв'язок рівняння Пелля
Розмір найменшого стада, яке задовольняє як першу, так і другу частини задачі, відповідає j = 1 і становить приблизно (вперше знайдено Амтором). Сучасні комп'ютери без труднощів можуть вивести всі цифри цієї відповіді. Вперше це було зроблено в університеті Ватерлоо в 1965 році , Р. А. Джерманом і Чарльзом Робертом Зарнке за допомогою комп'ютерів IBM 7040 та (includes pictures).
Рівняння Пелля Обмеження другої частини задачі є простими, і відповідне рівняння Пелля легко сформулювати. По-перше, вимагається, щоб B + W було квадратом, використовуючи наведені вище значення, маємо:
Отже, слід покласти k = (3)(11)(29)(4657)q2 для деякого цілого q. Це задовольняє першу умову. Для другого випадку вимагається, щоб D + Y було трикутним числом:
Розв'язуючи щодо t, дістаємо:
Підстановка значення D + Y і k та пошук такого q2, щоб дискримінант цього квадратного рівняння був повним квадратом p2 приводить до рівняння Пелля
Підхід Амтора, обговорений у попередньому розділі, полягав по суті в пошуку найменшого , що ділиться на без остачі. Фундаментальний розв'язок цього рівняння має понад 100 000 десяткових цифр.
Примітки
Додаткові джерела
Посилання OEIS sequence A096151 (Decimal expansion of the 206545-digit integer solution to Archimedes's cattle problem) — Повне десяткове розв'язання другої задачі