Оптичне рівняння в теорії чисел — це рівняння, яке вимагає, щоб сума обернених величин двох додатних цілих чисел і дорівнювала оберненій величині третього додатного цілого числа Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis, Chelsea Publ. Co., 1952, pp. 688—691.:
Помноживши обидві частини на , бачимо, що оптичне рівняння є еквівалентним діофантовому рівнянню (поліноміальному рівнянню з кількома цілими змінними).
Розв'язки Усі розв'язки в цілих числах можна представити за допомогою трьох додатних параметрів формулою
де є взаємно простими числами.
Застосування в геометрії
Оптичне рівняння, яке допускає, але не вимагає цілочисельних розв'язків, з'являється в кількох контекстах у геометрії.
У біцентричному чотирикутнику радіус вписаного кола , радіус описаного кола і відстань між центрами вписаного та описаного кіл пов'язані теоремою Фусса згідно з формулою:
Крім того, відстані від центра вписаного кола до вершин пов'язані з радіусом вписаного кола згідно з формулою
У задачі про перехрещені драбиниGardner, M. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. New York: Knopf, 1979, pp. 62–64. дві драбини, спираючись унизу на вертикальні стіни, перехрещуються на висоті і притуляються до протилежних стін на висотах та . Маємо Більше того, ця формула лишається справедливою і тоді, коли стіни похилі, якщо всі три вимірювання виконуються паралельно до стін.
Нехай — точка на описаному колі рівностороннього трикутника , що лежить на меншій дузі . Нехай — відстань від до , — відстань від до . На прямій, що проходить через і протилежну вершину , нехай — відстань від до сторони . ТодіPosamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover Publ., 1996.
У трапеції проведімо відрізок, паралельний двом паралельним сторонам, який проходить через точку перетину діагоналей і має кінці на непаралельних сторонах. Якщо довжини паралельних сторін позначити і , а половину довжини відрізка через перетин діагоналей — , то сума обернених до і дорівнює оберненому до GoGeometry, , Accessed 2012-07-08..
Особливий випадок коли цілі числа, обернені величини яких беруться, мають бути квадратами, проявляється двома способами в контексті прямокутних трикутників. По-перше, сума обернених квадратів висот, опущених з катетів (еквівалентно, обернених квадратів самих катетів), дорівнює оберненому квадрату висоти, опущеної з гіпотенузи. Це вірно незалежно від того, чи є числа цілими; існує формула (див. тут), яка генерує всі цілочисельні випадки. По-друге, також у прямокутному трикутнику сума квадрата оберненої величини сторони одного з двох вписаних квадратів та квадрата оберненої величини гіпотенузи дорівнює квадрату оберненої величини сторони іншого вписаного квадрата.
Сторони , який має спільні вершини з правильним семикутником, задовольняють оптичне рівняння.
Інші застосування
Рівняння тонкої лінзи
Для лінзи з незначною товщиною та фокусною відстанню відстані від лінзи до предмета і від лінзи до його зображення , пов'язані формулою тонкої лінзи:
Електротехніка
Елементи електричної або електронної схеми можуть з'єднуватися послідовно або паралельно. Наприклад, загальний (еквівалентний) двох резисторів з опорами і , з'єднаних паралельно, підпорядковується оптичному рівнянню:
Аналогічно, загальна індуктивність двох котушок з індуктивностями , з'єднаних паралельно, визначається як:
а загальна ємність двох конденсаторів з ємностями , з'єднаних послідовно, задається формулою:
Складання паперу
Оптичне рівняння з задачі про перехрещені драбини можна застосувати до складання прямокутного аркуша паперу на три рівні частини. Один бік (на ілюстрації — лівий) частково складають навпіл і притискають, щоб залишити мітку. Точка перетину прямої, проведеної від цієї мітки до протилежного кута, з діагоналлю знаходиться рівно на відстані однієї третини від нижнього краю. Після цього верхній край можна загнути вниз до цієї точки перетину; see in particular section «Dividing into thirds».
Середнє гармонійне Середнє гармонійне чисел і дорівнює або . Іншими словами, є половиною середнього гармонійного чисел і .
Зв'язок з Великою теоремою Ферма
Велика теорема Ферма стверджує, що сума двох цілих чисел, піднесених до одного й того самого цілого степеня , не може дорівнювати іншому цілому числу, піднесеному до степеня , якщо . Звідси випливає, що оптичне рівняння не має розв'язків, у яких усі три цілі числа є досконалими степенями з однаковим показником . Адже якщо то, помноживши обидві частини на , дістанемо що неможливо згідно з Великою теоремою Ферма.
Див. також — інше діофантові рівняння, пов'язане із сумами обернених цілих чисел
Примітки