Стрибки Вієта (також відомі як перевертання коренів) — метод доведення у теорії чисел. Його найчастіше застосовують у задачах, де задано співвідношення між двома цілими числами разом із твердженням, яке потрібно довести про його розв'язки. Зокрема, цей метод можна використати для отримання нових розв'язків квадратного діофантового рівняння з уже відомих. Існує кілька варіантів стрибка Вієта, усі з яких об'єднує спільна ідея нескінченного спуску шляхом знаходження нових розв'язків рівняння за допомогою формул Вієта.

Історія Стрибок Вієта є класичним методом у теорії квадратних діофантових рівнянь і . Наприклад, його застосовували під час аналізу рівняння Маркова ще 1879 року, а також у статті Міллса 1953 року.

У 1988 році цей метод привернув увагу завдяки задачам у світлі першої олімпіадної задачі, в розв'язку якої його було застосовано, і яку було запропоновано для Міжнародної математичної олімпіади та визнано найскладнішою задачею змагання:

Нехай і  —додатні цілі числа такі, що ділить . Доведіть, що є квадратом цілого числа.

Про складність цієї задачі писав так:

Серед одинадцяти учасників, які отримали максимальний бал за розв'язання цієї задачі, були Нго Бао Чау, , та Нікушор Дан. Емануїл Атанасов (Болгарія) розв'язав задачу в одному абзаці й отримав спеціальну нагороду.

Стандартний стрибок Вієта Поняття стандартного стрибка Вієта ґрунтується на доведенні від супротивного та складається з таких чотирьох кроків: Припустити від супротивного, що існує деякий розв'язок (), який не задовольняє задані умови. Вибрати мінімальний такий розв'язок за певним означенням мінімальності. Замінити деякий змінною x у формулах і дістати рівняння, для якого є розв'язком. За допомогою формул Вієта показати, що з цього випливає існування меншого розв'язку, а отже — суперечність.

Приклад Задача № 6 ММО 1988 року: Нехай і  — додатні цілі числа такі, що ділить . Доведіть, що є повним квадратом. Зафіксуємо деяке додатне ціле число , яке не є квадратом. Припустімо, що існують додатні цілі числа , для яких . Нехай  — такі додатні цілі числа, для яких , і при цьому сума є мінімальною; вважатимемо, що . Зафіксувавши , замінимо змінною отримавши квадратне рівняння . Ми знаємо, що одним із коренів цього рівняння є . За стандартними властивостями квадратних рівнянь інший корінь задовольняє та . Перший вираз для показує, що є цілим числом, тоді як другий означає, що оскільки не є повним квадратом. З нерівності далі випливає, що , а отже є додатним цілим числом. Нарешті, з маємо , тобто , а відтак , що суперечить мінімальності .

Стрибок Вієта зі сталим спуском Метод стрибка Вієта зі сталим спуском застосовують тоді, коли потрібно довести твердження щодо сталої , пов'язаної зі співвідношенням між та . На відміну від стандартного стрибка Вієта, сталий спуск не є доведенням від супротивного й складається з таких чотирьох кроків: Доводять випадок рівності, після чого можна вважати, що . Зафіксувавши і , вираз, що пов'язує і , перетворюють на квадратне рівняння з коефіцієнтами, вираженими через і , одним із коренів якого є . Інший корінь, знаходять за формулами Вієта. Для всіх пар що перевищують деякий базовий випадок, показують, що і що є цілим числом. Таким чином, зберігаючи те саме значення , можна замінити на і повторювати цей процес, доки не буде досягнуто базового випадку. Доводять твердження для базового випадку; оскільки залишалося сталим протягом усього процесу, цього достатньо для доведення твердження для всіх упорядкованих пар.

Приклад Нехай і  — додатні цілі числа такі, що ділить . Доведіть, що . Якщо , то з того, що ділить , випливає, що ділить 1, а отже і . Тому без обмеження загальності вважатимемо, що . Для будь-якої пари , що задовольняє умову, покладемо і, перегрупувавши та підставивши, отримаємо квадратне рівняння . Один з коренів цього рівняння дорівнює , тому за формулами Вієта інший корінь має вигляд . Перша рівність показує, що є цілим числом, а друга — що воно додатне. Оскільки і обидва числа цілі, то , звідки . За умови завжди маємо , а отже . Таким чином, зберігаючи те саме значення , ми можемо замінити пару на і повторювати цей процес доти, доки не дійдемо до базового випадку. Базовим випадком є . Щоб пара задовольняла задану умову, число має ділити , а це означає, що ділить 2. Отже або . Перший випадок відкидається, оскільки . У другому випадку . Оскільки впродовж усього процесу стрибка Вієта значення залишалося сталим, цього достатньо, щоб показати: для будь-якої пари , що задовольняє задану умову, завжди маємо .

Геометрична інтерпретація Стрибок Вієта можна описати в термінах ґраткових точок на гіперболах у першій чверті. Той самий процес знаходження менших коренів тут використовується для знаходження нижчих ґраткових точок на гіперболі, не виходячи з першої чверті. Процедура є такою: Із заданої умови отримують рівняння сім'ї гіпербол, які не змінюються при перестановці та тобто є симетричними відносно прямої . Доводять потрібне твердження для точок перетину гіпербол із прямою . Припускають, що існує ґраткова точка на деякій гіперболі і, без обмеження загальності, . Тоді за формулами Вієта існує відповідна ґраткова точка з тією самою -координатою на іншій вітці гіперболи, а відбиттям відносно прямої отримують нову точку на початковій вітці гіперболи. Показують, що цей процес породжує нижчі точки на тій самій вітці і може повторюватися, доки не буде досягнуто певної умови (наприклад ). Після підстановки цієї умови в рівняння гіперболи отримують шуканий висновок.

Приклад Цей метод можна застосувати до задачі № 6 ММО 1988 року: нехай і  — додатні цілі числа такі, що ділить . Доведіть, що є повним квадратом. Нехай і зафіксуємо значення . Якщо , то є повним квадратом, як і потрібно. Якщо , то , що не має цілих розв'язків . Для , рівняння задає гіперболу , а точка є ґратковою точкою на . Якщо  — ґраткова точка на з , то (оскільки  — ціле) легко бачити, що . Отже, твердження задачі істинне для точки . Тепер нехай  — ґраткова точка на деякій вітці з і (випадок уже розглянуто). За симетрією можемо вважати, що і що точка лежить на верхній вітці . Застосовуючи формули Вієта, бачимо, що є ґратковою точкою на нижній вітці . Позначимо . З рівняння випливає, що . Оскільки , маємо . Отже, точка лежить у першій чверті. Відбиттям одержуємо точку , яка також належить першій чверті та лежить на . Крім того, з формул Вієта маємо , тобто . Поєднуючи це з нерівністю , можна показати, що . Отже, новоотримана точка лежить у першій чверті, на верхній вітці , і має менші - та -координати, ніж початкова точка . Описаний процес можна повторювати доти, доки точка має додатну -координату. Оскільки -координати цих точок утворюють спадну послідовність невід'ємних цілих чисел, процес може тривати лише скінченну кількість кроків і зрештою приведе до точки на верхній вітці . Після підстановки в рівняння гіперболи отримуємо , тобто є повним квадратом, що й треба було довести.

Див. також Теорема Вієта Доведення до абсурду Метод нескінченного спуску Число Маркова Сітка Аполлонія

Примітки

Посилання Vieta Root Jumping на Brilliant.org