Про рівновагу площин () — це трактат Архімеда у двох книгах. Перша книга містить доведення закону важеля і завершується твердженнями про центр тяжіння трикутника та трапеції. Друга книга, яка складається з десяти тверджень, присвячена дослідженню центрів тяжіння параболічних сегментів.

За свідченням Паппа Александрійського, праці Архімеда про важелі та його розуміння спонукали його сказати: «Дайте мені точку опори — і я зрушу Землю» (), хоча інші античні свідчення є неоднозначними щодо контексту цього висловуЦитовано у Паппа Александрійського в Synagoge, книга VIII, с. 1060 у виданні .

Огляд Важіль і його властивості були добре відомі ще до часів Архімеда, і він не був першим, хто здійснив аналіз відповідного принципу. Раніший трактат , який колись приписували Арістотелю, але, найімовірніше, написаний одним із його наступників, містить загальне доведення закону важеля без використання поняття центра тяжіння. Існує також короткий твір, приписуваний Евкліду, під назвою Про терези, який також містить математичне доведення цього закону — знову ж таки без звернення до центра тяжінняRenn, J., Damerow, P., & McLaughlin, P. (2003). Aristotle, Archimedes, Euclid, and the origin of mechanics: The perspective of historical epistemology. In J. L. Montesinos Sirera (Ed.), Symposium Arquímedes Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia (pp. 43–59). http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF. .

На відміну від цього, у праці Архімеда поняття центра тяжіння є ключовим. Про рівновагу площин I, яка містить сім постулатів і п'ятнадцять тверджень, центр ваги використовується як для сумірних, так і для несумірних величин для обґрунтування закону важеля, хоча деякі дослідники вважають це обґрунтування недостатнім. Далі Архімед визначає центр тяжіння паралелограма і трикутника, завершуючи першу книгу доведенням щодо центра тяжіння трапеції.

Про рівновагу площин має той самий предмет дослідження, що й перша книга, але, найімовірніше, була написана пізніше. Вона містить десять тверджень, присвячених виключно центрам тяжіння параболічних сегментів, і досліджує ці сегменти шляхом заміни їх прямокутниками рівної площі. Така заміна стала можливою завдяки результатам, отриманим у трактаті Квадратура параболи, який, за припущенням, було опубліковано після першої книги Про рівновагу площин.

Зміст

Книга перша Перша частина першої книги присвячена основним властивостям терезів і закону важеля, тоді як друга, об'ємніша частина зосереджується на центрі тяжіння простих плоских фігур. Аргумент, який дозволяє Архімеду встановити закон важеля та визначити центр тяжіння багатьох фігур, міститься в шостому постулаті: якщо величини, розміщені на певних відстанях, перебувають у рівновазі, то й інші (величини), рівні їм, також перебуватимуть у рівновазі на тих самих відстанях. У твердженнях 4 і 5 Архімед доводить, що центр тяжіння будь-якої системи, яка складається з парної кількості рівних тягарів, рівномірно розподілених, розташовується в середині між двома центральними тягарями. Далі Архімед використовує ці теореми для доведення закону важеля у твердженні 6 (для сумірних випадків) і у твердженні 7 (для несумірних випадків).

Теорема

У сучасних термінах: маючи два нерівні, але сумірні тягарі та плече важеля, поділене на дві нерівні, проте сумірні частини (див. схему навпроти), якщо величини A та B прикладені відповідно в точках E та D, то система перебуватиме в рівновазі в точці C, якщо тягарі обернено пропорційні довжинам:

Доведення

Припустімо, що відрізки та тягарі побудовано так, щоб вони підпорядковувалися правилу, використовуючи спільну міру (або одиницю) n і перебували у відношенні 4:3. Тепер подвоїмо довжину ED продублювавши довше плече зліва і коротше плече справа.

Для наочності переставимо відрізки так, щоб CD був суміжний з LE (дві червоні лінії разом), і розташуємо їх поруч з оригіналом (як показано нижче):

Очевидно, що обидва відрізки мають подвійну довжину початкового відрізка ED, що LH має свій центр у точці E, а HK — у точці D. Зауважмо також, що EH (який дорівнює CD) містить спільну міру (або одиницю) n цілу кількість разів, так само як EC і, відповідно, CH. Отже, залишається довести, що тягар A, прикладений у точці E і тягар B, прикладений у точці D, матимуть спільний центр тяжіння в точці C.

Тому, оскільки відношення LH до HK подвоїло початкові довжини CD і EC, аналогічно поділимо величини A і B у відношенні 8:6 (перетворення, яке зберігає їхнє початкове відношення 4:3), і розташуємо їх так, щоб спільні міри A (червоні) були зосереджені в точці E, а спільні міри B (сині) — у точці D.

Тепер, оскільки парна кількість рівних тягарів, рівномірно розташованих, має центр тяжіння між двома середніми тягарями, то A фактично прикладений у точці E, а B — у точці D, як цього вимагає твердження. Крім того, вся система складається з парної кількості рівних тягарів, рівномірно розподілених, і, отже, за тим самим принципом, точка C має бути центром тяжіння всієї системи. Таким чином, система не нахиляється, а перебуває в рівновазі на відстанях, обернено пропорційних тягарям, тобто у відношенні.

Книга друга Головною метою другої книги трактату Про рівновагу площин є визначення центра тяжіння будь-якої частини параболічного сегмента, як це показано в твердженні 8.

Книга починається зі спрощеного доведення закону важеля в пропозиції 1, у якому робиться посилання на результати, отримані в трактаті Квадратура параболи. Наступні сім тверджень Архімед доводить, поєднуючи поняття центра тяжіння та властивості параболи з результатами, раніше встановленими в Про рівновагу площин I. Зокрема, він робить висновок, що дві параболи, рівні за площею, мають центри тяжіння, рівновіддалені від певної точки, а згодом замінює їхні площі прямокутниками рівної площі.

Останні дві пропозиції — пропозиції 9 і 10 — є доволі складними, але зосереджені на визначенні центра тяжіння фігури, відсіченої від будь-якого параболічного сегмента усіченням.

Спадщина Механічні праці Архімеда, зокрема Про рівновагу площин, були відомі в античності, але читалися мало. І Герон і Папп Александрійський посилаються на Архімеда у своїх працях з механіки, переважно в обговореннях центра тяжіння та . Деякі римські автори, зокрема Вітрувій, очевидно, також мали певні знання про праці Архімеда.

У Середньовіччі деякі арабські автори були обізнані з працями Архімеда про терези та центр тяжіння і розвивали їх далі; однак у латинському Заході ці ідеї залишалися майже невідомими, за винятком небагатьох обмежених випадків. Лише в пізню добу Відродження результати, викладені в трактаті Про рівновагу площин почали широко поширюватися. Математичний підхід Архімеда до фізики, зокрема, став зразком для наступних учених, таких як Гвідобальдо дель Монте, , Сімон Стевін і Галілео Галілей.

Поняття центра тяжіння досягло високого рівня опрацювання в першій половині XVII століття, зокрема в працях Еванджелісти Торрічеллі та Христіана Гюйгенса, і відіграло ключову роль у розвитку раціональної механіки.

Критика Низка дослідників звертала увагу на неузгодженості в першій книзі Про рівновагу площин Republished translation of the 1883 original by . Ed. 3, rev.. Берггрен ставить під сумнів автентичність майже половини першої книги, зокрема вказуючи на надлишковість тверджень 1–3 та 11–12. Водночас він, слідом за відкидає критику Маха щодо твердження 6, яка справді доводить, що «якщо система тягарів, підвішених на балці терезів, перебуває в рівновазі за опори в певній точці, то будь-який перерозподіл цих тягарів, що зберігає їхній спільний центр тяжіння, також зберігає рівновагу».

Крім того, твердження 7 першої книги у своєму нинішньому вигляді здається незавершеним, тож, строго кажучи, Архімед у першій книзі доводить закон важеля лише для сумірних величин. Друга книга Про рівновагу площин не має цих недоліків, оскільки, за винятком першого твердження, важіль у ній взагалі не розглядається. Також у жодному зі збережених творів Архімеда немає визначення центра тяжіння, що, на думку деяких учених, ускладнює простеження (або обґрунтування) логічної структури окремих його міркувань у Про рівновагу площин.

Примітки