Александра Беллоу (; уроджена Багдасар; раніше Іонеску-Тулча; 30 серпня 1935 — 2 травня 2025) — румунсько-американська математикиня, яка зробила внесок у галузі ергодичної теорії, теорії ймовірностей та аналізу.

Життєпис

Беллоу народилася в Бухаресті, Румунія, 30 серпня 1935 року як Александра Багдасар. Її батьки були лікарями. Її мати, Флоріка Багдасар (уроджена Чуметті), була дитячою психіатринею. Її батько, Думітру Багдасар, був нейрохірургом. Вона отримала ступінь магістра математики в Бухарестському університеті в 1957 році, де познайомилася та взяла шлюб зі своїм першим чоловіком, математиком Кассіусом Іонеску-Тулчею. Вона супроводжувала свого чоловіка до Сполучених Штатів у 1957 році та отримала ступінь доктора філософії в Єльському університеті в 1959 році під керівництвом Шідзуо Какутані з дисертацією на тему «Ергодична теорія випадкових рядів». Після отримання ступеня вона працювала науковою співробітницею у Єльському університеті з 1959 по 1961 рік, а з 1962 по 1964 рік — асистенткою-професоркою в Університеті Пенсільванії. З 1964 по 1967 рік вона була ад'юнкт-професоркою в Університеті Іллінойсу в Урбана-Шампейн. У 1967 році вона перейшла до Північно-Західного університету на посаду професорки математики. Вона працювала в Північно-Західному університеті до виходу на пенсію в 1996 році, коли стала почесною професоркою.

Під час шлюбу з Кассіусом Іонеску-Тулчею (1956—1969) вона разом зі своїм чоловіком написали багато статей та дослідницьку монографію з теорії підйому.

Другим чоловіком Александри був письменник Сол Беллоу, який 1976 року був удостоєний Нобелівської премії з літератури, під час їхнього шлюбу (1975—1985). Александра фігурує у творах Беллоу; вона з любов'ю зображена в його мемуарах «До Єрусалима і назад» (1976), а також у його романі «Грудень декана» (1982), більш критично, сатирично в його останньому романі «Равельштейн» (2000), який був написаний через багато років після їхнього розлучення. Дев'яності роки були для Александри періодом особистої та професійної самореалізації, що принесло її шлюб у 1989 році з математиком Альберто Кальдероном.

Беллоу померла у Чикаго (штат Іллінойс) 2 травня 2025 року у віці 89 років.

Математична робота

Теорія підйому Деякі з її ранніх робіт стосувалися властивостей та наслідків підйому. Теорія підйому, яка розпочалася з новаторських робіт Джона фон Неймана, а пізніше Дороті Магарам, набула свого розквіту в 1960-х та 1970-х роках з роботами Іонеску-Тулча та забезпечила остаточне тлумачення теорії представлення лінійних операторів, що виникають у ймовірності, процесу розпаду мір. Стандартним джерелом у цій галузі стала їхня монографія «Ерґебніссе» 1969 року.

Застосовуючи підняття до випадкового процесу, Іонеску-Тулча отримав «сепарабельний» процес; це дає швидкий доказ теореми Джозефа Лео Дуба про існування сепарабельної модифікації стохастичного процесу (також «канонічний» спосіб отримання сепарабельної модифікації). Крім того, застосовуючи підняття до «слабко» вимірної функції зі значеннями у слабко компактній множині банахового простору, отримується сильно вимірна функція; це дає односпрямований доказ класичної теореми Філліпса (також «канонічний» спосіб отримання сильно вимірної версії).

Ми кажемо, що множина H вимірних функцій задовольняє «властивість розділення», якщо будь-які дві різні функції в H належать до різних класів еквівалентності. Область підняття завжди є множиною вимірних функцій з «властивістю розділення». Наступний «критерій метризації» дає деяке уявлення про те, чому функції в області підняття поводяться набагато краще. Нехай H — множина вимірних функцій з такими властивостями: (I) H є компактною (для топології точкової збіжності); (II) H є опуклою; (III) H задовольняє «властивість розділення». Тоді H є метризовною. Доведення існування підняття, що комутує з лівими зсувами довільної локально компактної групи, проведене Іонеску-Тулчею, є дуже нетривіальним; воно використовує апроксимацію групами Лі та аргументи мартингального типу, адаптовані до структури групи.

Мартингали На початку 1960-х років вона працювала з К. Іонеску-Тулчею над мартингалами, що приймають значення в банаховому просторі. У певному сенсі ця робота започаткувала вивчення векторнозначних мартингалів, вперше довівши «сильну» майже скрізь збіжність для мартингалів, що приймають значення в банаховому просторі з (те, що пізніше стало відомим як) властивість Радона-Нікодима; це, до речі, відкрило двері до нової галузі аналізу — «геометрії банахових просторів». Ці ідеї пізніше були поширені Беллоу на теорію «рівномірних амартів» (у контексті банахових просторів рівномірні амарти є природним узагальненням мартингалів, квазімартингалів і мають чудові властивості стійкості, такі як необов'язкова вибірка), яка зараз є важливим розділом у теорії ймовірностей.

Ергодична теорія У 1960 році Дональд Семюел Орнштейн побудував приклад несингулярного перетворення на просторі Лебега одиничного інтервалу, яке не допускає –скінченна інваріантна міра, еквівалентна мірі Лебега, таким чином вирішуючи давню проблему в ергодичній теорії. Кілька років по тому Рафаель В. Чакон навів приклад позитивної (лінійної) ізометрії , для яких індивідуальна ергодична теорема не виконується в . Її робота об'єднує та розширює ці два чудові результати. Вона показує, методами категорії Бера, що, здавалося б, ізольовані приклади несингулярних перетворень, вперше виявлені Орнштейном, а пізніше Чаконом, насправді були типовим випадком.

Починаючи з початку 1980-х років, Беллоу розпочала серію статей, які призвели до відродження тієї галузі ергодичної теорії, що стосується граничних теорем та делікатного питання поточкової збіжності по майже всіх числах. Цього було досягнуто завдяки використанню взаємодії з ймовірнісним та гармонічним аналізом у сучасному контексті (центральна гранична теорема, принципи переносу, квадратичні функції та інші методи сингулярного інтегрування зараз є частиною щоденного арсеналу людей, які працюють у цій галузі ергодичної теорії), а також завдяки залученню низки талановитих математиків, які були дуже активними в цій галузі. Однією з двох проблем, які вона порушила на зустрічі в Обервольфаху з «Теорії міри» в 1981 році було питання чинності для в , точкової ергодичної теореми вздовж «послідовності квадратів» та вздовж «послідовності простих чисел» (Подібне питання було незалежно порушено через рік Гіллелем Фюрстенбергом). Цю проблему вирішив через кілька років Жан Бурген для в , у випадку з «квадратами», а також для у випадку з «простими числами» (аргумент був просунутий до Мате Вірдл; випадок однак залишається відкритим). Бургейн був нагороджений медаллю Філдса в 1994 році, частково за цю роботу з ергодичної теорії.

Саме Ульріх Кренгель у 1971 році вперше запропонував геніальну конструкцію зростаючої послідовності додатних цілих чисел, вздовж якої точкова ергодична теорема не виконується. для кожного ергодичного перетворення. Існування такої «поганої універсальної послідовності» стало несподіванкою. Беллоу показала, що кожна лакунарна послідовність цілих чисел насправді є «поганою універсальною послідовністю» в Таким чином, лакунарні послідовності є «канонічними» прикладами «поганих універсальних послідовностей». Пізніше вона змогла показати, що з точки зору точкової ергодичної теореми, послідовність додатних цілих чисел може бути «хорошою універсальною» в але «поганою універсальною» у , для всіх Це було досить несподівано і відповіло на запитання, поставлене Роджером Джонсом.

Певне місце в цій галузі досліджень займає «властивість сильного витягування» (яку може проявляти послідовність лінійних операторів). Вона описує ситуацію, коли майже скрізь збіжність порушується навіть у і найгіршим чином. Приклади цього зустрічаються в кількох її статтях. «Властивість сильного витягування» відіграє важливу роль у цій галузі досліджень. Беллоу та її колеги провели широке та систематичне дослідження цього поняття, наводячи різні критерії та численні приклади властивості сильного витягування. Працюючи з Кренгелем, вона змогла дати негативну відповідь на давню гіпотезу Еберхарда Гопфа. Пізніше Беллоу та Кренгель, працюючи з Кальдероном, змогли показати, що насправді оператори Гопфа мають властивість «сильного витягування».

При вивченні неперіодичних потоків, відбір проб майже в періодичні моменти часу, як, наприклад, , де є додатною та прагне до нуля, не призводить до збіжності п.в.е.; насправді відбувається сильне вимітання. Це показує можливість серйозних помилок під час використання ергодичної теореми для вивчення фізичних систем. Такі результати можуть мати практичну цінність для статистиків та інших вчених. При вивченні дискретних ергодичних систем, які можна спостерігати лише протягом певних блоків часу, існує така дихотомія поведінки відповідних середніх: або середні збігаються п.в.е. для всіх функцій у , або має місце властивість сильного витягування. Це залежить від геометричних властивостей блоків.

Кілька математиків (включно з Бургеном) працювали над проблемами, поставленими Беллоу, і відповіли на ці питання у своїх статтях.

Академічні відзнаки, нагороди, визнання

1977–80 Член Комітету відвідувачів, математичний факультет Гарвардського університету 1980 Нагорода видатного науковця Фейрчайлда, Каліфорнійський технологічний інститут, зимовий семестр 1987 Гумбольдтівська премія, Фонд Александра фон Гумбольдта, Бонн, Німеччина Лекція Еммі Нетер, Сан-Франциско, 1991 р. Міжнародна конференція 1997 року на честь Александри Беллоу з нагоди її виходу на пенсію, що відбулася в Північно-Західному університеті з 23 по 26 жовтня 1997 року. Матеріали цієї конференції були опубліковані як спеціальний випуск Іллінойського журналу математики, осінь 1999 року, том 43, № 3. 2017 року — стипендіат Американського математичного товариства «за внесок в аналіз, зокрема ергодичну теорію та теорію міри, а також за виклад».

Професійна редакційна діяльність

1974–77 рр. — редакторка, Transactions of the American Mathematical Society 1980–82 рр. — заступниця редактора, Annals of Probability 1979 — заступниця редактора, Advances in Mathematics

Див. також Сол Беллоу

Вибрані публікації

Примітки