Пермане́нтність систе́ми диференціа́льних рівня́нь (від лат. permanens — «постійний», «безперервний», «той, що триває») — властивість системи, додатні розв'язки якої з певного моменту часу тримаються в певних межах, не наближаючись до нуля й не прямуючи до нескінченності. Перманентні системи розглядають у моделюванні динаміки популяцій.

Означення

Система звичайних диференціальних рівнянь

де , називається перманентною, якщо існують такі сталі і , що для кожного розв'язку з додатними початковими умовами , , виконується властивість

тобто існує таке , що

На відміну від стійкості, не вимагається, щоб розв'язки прямували до одного стійкого розв'язку (наприклад, до стану рівноваги). Однак розв'язки з якогось моменту потраплятимуть у обмежену область, відділену від нуля. Також перманентність системи допомагає довести стійкість розв'язків.

Природним чином поняття перманентності системи узагальнено на ширші класи систем, зокрема з імпульсною дією, з відхиленням аргументу, з частинними похідними, в абстрактних просторах, а також на системи з дискретним часом.

Застосування

Поняття перманентності розв'язків систем широко застосовується в популяційній динаміці при моделюванні чисельності біологічних видів у популяціях. Це може бути один вид або декілька, що конкурують між собою чи перебувають у відносинах «хижак – жертва». У практичному сенсі перманентність означає стале виживання й обмежену чисельність популяцій усіх розглядуваних біологічних видів. Відповідними математичними моделями, зокрема, є системи типу Лотки – Вольтерри.

Згідно з принципом конкурентного витіснення, який приписують російському екологу Г. Ф. Гаузе (1934), тривале співіснування кількох конкуруючих біологічних видів неможливе, оскільки один із них має перевагу над іншими й витісняє їх зі своєї екологічної ніші. Однак спостереження показали, що це відбувається не завжди, особливо у природних умовах. Можливим сценарієм є перманентність, коли чисельність кожного з видів протягом тривалого часу тримається в певних межах, не наближаючись до нуля. Розгляд математичних моделей це підтверджує.

Джерела F. Brauer, C. Castillo-Chavez. Mathematical models in population biology and epidemiology. Applied Mathematical Sciences 99. New York, Springer-Verlag, 2012.