Параболічне дзеркало — відбивна поверхня, використовувана для збирання або проєктування енергії, такої як світло, звук або радіохвилі. Її форма є частиною кругового параболоїда, тобто поверхні, утвореної параболою, яка обертається навколо своєї осі. Параболічний рефлектор перетворює вхідну плоску хвилю, що рухається вздовж осі, на сферичну хвилю, що сходиться до фокуса. І навпаки, сферична хвиля, утворена точковим джерелом, розміщеним у фокусі, відбивається як плоска хвиля, що поширюється як вздовж осі параболоїда.

Параболічні дзеркала використовують для збирання енергії від віддаленого джерела (наприклад, звукових хвиль або світла від зір). Оскільки принципи відбиття є оборотними, параболічні дзеркала також можна застосовувати для колімації випромінювання від точкового джерела в паралельний пучок. В оптиці параболічні дзеркала збирають світло в дзеркальних телескопах і сонячних печах, а також формують світловий пучок у ліхтариках, прожекторах, софітах і автомобільних фарах. У радіотехніці аналогічні за конструкцією параболічні антени випромінюють вузький пучок радіохвиль та фокусують радіохвилі в точку для зв'язку точка-точка в супутникових антенах і мікрохвильових радіорелейних станціях, для виявлення літаків і суден у радарах, для фокусування радіотелескопами радіохвиль від далеких космічних джерел у радіоастрономії та для дистанційного зондування об'єктів у радіолокаційній астрономії. В акустиці застосовують для запису віддалених звуків, зокрема співу птахів, у спортивній журналістиці, а також для підслуховування приватних розмов у шпигунстві та правоохоронній діяльності.

Теорія

Строго кажучи, тривимірне параболічне дзеркало має форму параболоїда. Парабола є двовимірною фігурою (різниця аналогічна відмінності між кулею та колом). Однак у неформальному вжитку слово «парабола» й прикметник «параболічний» часто використовують замість «параболоїд» і «параболоїдний».

Якщо розмістити параболу в декартовій системі координат так, що її вершина перебуває в початку координат, а вісь симетрії збігається з віссю y, тобто парабола відкривається вгору, її рівняння має вигляд , де  — фокусна відстань (див. парабола). Відповідно, розміри симетричного параболоїдного дзеркала пов'язані співвідношенням де  — фокусна відстань,  — глибина дзеркала (виміряна вздовж осі симетрії від вершини до площини краю), а  — радіус параболічного дзеркала, виміряний пірпендикулярно його осі. Якщо відомі дві з цих трьох величин, за цим рівнянням можна обчислити третю.

Для визначення діаметра дзеркала, виміряного вздовж його поверхні, потрібні складніші обчислення. Цю величину іноді називають «лінійним діаметром»; він дорівнює діаметру плоского круглого листа матеріалу (зазвичай металу), який має відповідний розмір для вирізання та формування дзеркала. У розрахунку зручно використати два проміжні результати: (або еквівалентно та де , і визначені вище. Тоді діаметр дзеркала, виміряний уздовж поверхні, дорівнює де означає натуральний логарифм числа .

Об'єм всередині дзеркала заданий формулою , де позначення мають наведені вище значення. Для порівняння можна навести формули об'ємів циліндра , півсфери де та конуса . Площа апертури дзеркала становить  — це площа, обмежена краєм, яка пропорційна кількості світла, яке захоплює дзеркало. Площу увігнутої поверхні дзеркала можна знайти за формулою площі поверхні обертання, яка дає за умови . Частка світла, відбитого дзеркалом від джерела світла, розміщеного у фокусі, дорівнює , де , і визначені вище.

Параболічний відбивач працює завдяки геометричним властивостям параболоїда: будь-який вхідний промінь, паралельний осі дзеркала, відбивається в одну центральну точку — «фокус». Таким чином можна відбивати різні види енергії — світло, радіохвилі, інші типи електромагнітних хвиль, звук. Аналогічно, енергія, що випромінюється з фокуса до дзеркала, виходить назовні у вигляді пучка, паралельного осі дзеркала.

На відміну від сферичних дзеркал, які зазнають сферичної аберації, що посилюється зі збільшенням відношення діаметра до фокусної відстані, параболічні антени здатні працювати з пучками енергії будь-якої ширини. Водночас, якщо вхідний пучок утворює ненульовий кут з віссю (або якщо точкове джерело випромінювання не розміщене у фокусі), у параболічних антен виникає аберація, відома як кома. Це явище має значення насамперед у телескопах, оскільки в більшості інших застосувань не потрібна висока роздільна здатність поза віссю параболи.

Точність виготовлення параболічного дзеркала, необхідна для ефективного фокусування енергії, залежить від довжини хвилі цієї енергії. Якщо форма дзеркала має похибку в чверть довжини хвилі, відбиті хвилі матимуть зсув у пів хвилі, що призведе до деструктивної інтерференції з хвилями, відбитими правильно з інших ділянок дзеркала. Щоб уникнути цього, дзеркало потрібно виготовляти з точністю приблизно до довжини хвилі. Довжини хвиль видимого світла лежать у межах приблизно 400—700 нм, тому для якісного фокусування всього видимого світла відбивач має бути точним приблизно до 20 нм. Для порівняння, діаметр людської волосини зазвичай становить близько 50 000 нм, тобто потрібна точність приблизно у 2500 разів менша за діаметр волосини. Наприклад, дефект дзеркала космічного телескопа «Габбл» (надмірна пласкість приблизно на 2200 нм по краю) спричиняв сильну сферичну аберацію, доки її не усунули за допомогою системи .

Мікрохвилі, зокрема ті, що використовуються для супутникового телебачення, мають довжину хвилі порядку сантиметрів, тому антени для їх фокусування можуть мати похибки близько пів міліметра й усе одно працювати ефективно.

Варіації

Фокусно-збалансований відбивач

У деяких випадках корисно, щоб центр мас дзеркала збігався з його фокусом. Це дає змогу легко обертати відбивач для наведення на рухоме джерело світла, наприклад Сонце на небі, водночас зберігаючи фокус — місце розташування приймача — нерухомим. Дзеркало обертається навколо осей, що проходять через фокус і відносно яких воно збалансоване. Якщо дзеркало є симетричним і виготовлене з однорідного матеріалу сталої товщини, а F позначає фокусну відстань параболоїда, то умова «фокусного балансування» виконується, коли глибина дзеркала, виміряна вздовж осі параболоїда від вершини до площини краю дзеркала, дорівнює 1,8478 F. Радіус краю при цьому становить 2,7187 F. Кутовий радіус краю, видимий з фокуса, дорівнює 72,68°.

Відбивач Шеффлера Фокусно-збалансована конфігурація (див. вище) вимагає, щоб глибина дзеркала перевищувала його фокусну відстань, унаслідок чого фокус розташований усередині дзеркала. Це може ускладнювати доступ до фокуса. Альтернативний підхід реалізовано у відбивачі Шеффлера, названому на честь його винахідника — . Це параболоїдне дзеркало, яке обертається навколо осей, що проходять через його центр мас, але не збігаються з фокусом, який розташований поза дзеркалом. Якби відбивач був жорстким параболоїдом, фокус зміщувався б під час повороту дзеркала. Щоб уникнути цього, дзеркало роблять гнучким і під час обертання деформують так, щоб фокус залишався нерухомим. В ідеалі дзеркало мало б у будь-який момент залишатися точно параболоїдним. На практиці цього не вдається досягти абсолютно точно, тому відбивач Шеффлера непридатний для тих застосувань, які потребують високої точності. Його використовують у таких галузях, як сонячна піч для приготування їжі, де сонячне світло потрібно сфокусувати достатньо точно, щоб воно потрапляло на посуд, але не обов'язково ідеально в точку.

Позаосьові відбивачі

Круговий параболоїд теоретично не має обмежень за розмірами, але будь-яке реальне параболічне дзеркало є лише його сегментом. Часто цей сегмент містить вершину параболоїда, де його кривина найбільша і де вісь симетрії перетинає параболоїд. Однак якщо відбивач застосовують для фокусування вхідної енергії на приймач, тінь від приймача падає саме на вершину параболоїда, яка є частиною дзеркала, унаслідок чого частина відбивача не використовується. Цього можна уникнути, виготовивши відбивач із сегмента параболоїда, зміщеного відносно вершини та осі симетрії. У такому разі вся поверхня відбивача приймає енергію, яка згодом фокусується на приймачі. Такий підхід широко застосовують, зокрема, у приймальних антенах супутникового телебачення, а також у деяких типах астрономічних телескопів (наприклад, Грін-Банкський телескоп, космічний телескоп Джеймс Вебб).

Позаосьові відбивачі для використання в сонячних печах та інших застосуваннях, що не потребують високої точності, можна виготовляти досить просто, використовуючи обертову піч, у якій посудина з розплавленим склом зміщена відносно осі обертання. Менш точні відбивачі, придатні як супутникові антени, проєктують за допомогою комп'ютера, після чого з листового металу штампують велику кількість дзеркал.

Позаосьові відбивачі, спрямовані з середніх широт на геостаціонарний телевізійний супутник над екватором, мають більший нахил, ніж співвісні відбивачі. Унаслідок цього кронштейн для кріплення дзеркала може бути коротшим, а сніг менше накопичується в нижній частині дзеркала.

Історія

Принцип дії параболічних відбивачів був відомий ще з часів античності, коли математик Діокл описав їх у своїй праці «Про запалювальні дзеркала» й довів, що вони фокусують паралельний пучок у точку. Архімед у III столітті до н. е. вивчав параболоїди в межах своїх досліджень гідростатичної рівноваги й, за деякими свідченнями, використовував відбивачі для підпалювання римського флоту під час облоги Сиракуз. Однак ці свідчення видаються малоймовірними, оскільки вони вперше з'являються в джерелах лише у II столітті н. е., а Діокл не згадує про це у своїй праці. Параболічні дзеркала й відбивачі також докладно досліджував фізик Роджер Бекон у XIII столітті. Джеймс ГреГорі, у своїй книзі «Optica Promota» (1663), зазначив, що телескоп-рефлектор з параболічним дзеркалом усуває і сферичну аберацію, і властиву телескопам-рефракторам хроматичну аберацію. Запропонована ним конструкція дістала назву грегоріанського телескопа; однак, за його власним зізнанням, Грегорі не мав практичних навичок і не зміг знайти оптика, здатного виготовити такий інструмент. Ісаак Ньютон знав про властивості параболічних дзеркал, але для спрощення виготовлення обрав сферичну форму дзеркала у своєму ньютонівському телескопі. Маяки також широко використовували параболічні дзеркала для колімації світла від ліхтаря в пучок, поки у XIX столітті їх не замінили ефективніші лінзи Френеля. У 1888 році німецький фізик Генріх Герц створив першу у світі антену з параболічним відбивачем.

Застосування

Найпоширеніші сучасні застосування параболічних відбивачів — це супутникові антени, телескопи-рефлектори, радіотелескопи, , сонячні печі, а також багато освітлювальних пристроїв, зокрема прожектори, автомобільні фари та корпуси для світлодіодів.

Олімпійський вогонь традиційно запалюють в Олімпії у Греції, використовуючи параболічний відбивач, що концентрує сонячне світло, після чого його транспортують до місця проведення Ігор. Параболічні дзеркала можуть виконувати функцію .

Параболічні відбивачі також популярні для створення оптичних ілюзій. Такі пристрої складаються з двох параболічних дзеркал, розташованих адне напроти одного, з отвором у центрі верхнього дзеркала. Коли предмет розміщують на нижньому дзеркалі, система створює дійсне зображення — майже точну копію оригіналу, яка з'являється в отворі. Якість зображення залежить від точності оптики. Деякі з таких ілюзій виготовляють з допусками до мільйонних часток сантиметра.

Параболічний відбивач, спрямований угору, можна сформувати шляхом обертання відбивної рідини, наприклад ртуті, навколо вертикальної осі. Це робить можливим створення телескопа з рідким дзеркалом. Ту саму техніку застосовують і в обертових печах для виготовлення твердих відбивачів.

Параболічні відбивачі також є популярним способом підвищення потужності бездротового сигналу. Навіть у разі використання простих конструкцій користувачі повідомляють про підсилення на рівні 3 дБ або більше.

Коментарі

Примітки

Посилання