У математиці формула добутку Лі використовується для обчислення значення експоненційної функції суми двох квадратних дійсних або комплексних матриць або більш загально для обчислення експоненти двох елементів алгебри Лі для деякої групи Лі.
Названа на честь норвезького математика Софуса Лі, який довів її для випадку матриць. Для формули існує багато узагальнень. Одним із найвідоміших є результат Троттера для однопараметричних напівгруп операторів на банахових просторах. Тому формулу і її аналоги та узагальнення часто також називають формулою добутку Троттера або формулою добутку Лі — Троттера.
Формула добутку Нехай та — дві квадратні матриці розмірності n\times n} з дійсними чи комплексними елементами. Для цих матриць визначена сума , а також для кожної матриці експонента, як сума експоненціального ряду, тобто:
.
Сума ряду розглядається в просторі матриць розміру із якоюсь із еквівалентних матричних норм, які задають топологію і поняття збіжності. Формулою добутку Лі називається рівність:Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Springer-Verlag 2003, ISBN 0-387-40122-9, Theorem 2.10Rajemdra Bathia: Matrix Analysis, Springer-Verlag 1997, ISBN 0-387-94846-5, Theorem IX.1.3Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Lemma I.2.13
.
Більш загально, якщо є групою Лі, а — її алгеброю Лі і то
, де розглядається стандартне експоненційне відображення із алгебри Лі у відповідну групу Лі.
Попередня формула є частковим випадком адже дійсні і комплексні оборотні матриці є групами Лі, алгебрами Лі яких є множини усіх відповідно дійсних і комплексних матриць, а експонента матриці є прикладом експоненти у теорії груп Лі.
Зважаючи, що експоненційне відображення є дифеоморфізмом на деякому околі нульового елемента алгебри Лі (нульової матриці у випадку матриць) для всіх достатньо малих елементів для нього існує обернене логарифмічне відображення і формули можна переписати як:
Комутуючі елементи
Якщо матриці та комутують, тобто , то для матриць буде справедливою формула:
Формула добутку Лі є узагальненням цієї формули адже для комутуючих матриць та матриці та e^{B/N} теж комутують і у цьому випадку:
.
На довільній алгебрі Лі елементи називають комутуючими, якщо У цьому випадку теж для комутуючих елементів Випадок матриць, знову ж, є прикладом цієї рівності адже у цьому випадку за означенням тобто дві матриці є комутуючими елементами відповідної алгебри Лі, якщо вони є комутуючими матрицями.
Доведення Нехай Експоненційне і логарифмічне відображення є локальними дифеоморфізмами в околі і відповідно. Їх диференціали у цих точках є одиничними відображеннями (при стандартній ідентифікації простору і його дотичного простору в нулі).
Відображення має диференціал у точці (0,0) рівний Відображення є визначеним у деякому околі точки (0,0) і його диференціал у цій точці задається як Відповідно для (X,Y) достатньо близьких до (0,0):
де при (вибір норми у цьому випадку може бути довільним). Звідси:
Застосування
Якщо — (абстрактна) підгрупа загальної лінійної групи , що окрім того є замкнутою підмножиною у топологічному сенсі, то пов'язана з нею алгебра Лі визначається як:
.
Очевидно, що з та також , оскільки є істинним для всіх тоді і тільки тоді, коли є істинним для всіх . Також є замкненою відносно операції додавання, що можна довести використовуючи формулу добутку Лі.Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Beweis zu Proposition I.3.1
Нехай . Тоді, за означенням, для всіх . Оскільки є групою, то для всіх . Оскільки замкнена, вона також містить границю при , яка згідно з формулою добутку Лі існує і є рівною . Відповідно для всіх і за означенням це означає, що .
Подібні ідеї можна використати для доведення того, що така замкнута підгрупа загальної лінійної групи чи довільної групи Лі теж має структуру групи Лі (теореми про замкнуті підгрупи).
Узагальнення Формула добутку Лі більш загально є правильною в будь-якій банаховій алгебрі з одиничним елементом. Експоненціальну функцію елемента банахової алгебри знову можна визначити за допомогою експоненціального ряду. Якщо та є елементами такої банахової алгебри, тоді: C. Toure, F. Schulz, R. Brits: Some character generating functions on Banach algebras, Theorem 1.6
Важливими частковими випадками є обмежені оператори у банаховому, зокрема гільбертовому просторі. Piotr Soltan: A Primer on Hilbert Space Operators, Birkhauser-Verlag, ISBN 978-3-319-92060-3, Theorem 4.17
Добре відомим є узагальнення Троттера на випадок однопараметричних напівгруп на банахових просторах та їх генераторів. Нехай — банаховий простір і — множина обмежених операторів, для яких і для всіх
Такі оператори утворюють напівгрупу. Її генератором називається оператор заданий як Такий оператор визначений не для всіх , а лише для деякої щільної підмножини. Окрім того у загальному випадку генератори не є обмеженими операторами. Для генератора відповідну напівгрупу операторів символічно позначають .
Для генератора окрім області визначення важливу роль відіграє поняття ядра генератора, що є підмножиною області визначення і для кожного елемента області визначення існує послідовність елементів ядра для яких і
Нехай усі оператори у напівгрупах додатково є стискуючими, тобто для всіх
Якщо , та — генератори таких стискуючих неперервних напівгруп на банаховому просторі і для всіх у деякому ядрі оператора , то:E. B. Davies: One Parameter Semigroups, Academic Press 1980, ISBN 0-12-206280-9, Theorem 3.30H. F. Trotter: On the product of semi-groups of operators, Proc. Amer. Math. Soc. (1959), Band 10, Seiten 545–551
для всіх і
Формула для потоків векторних полів Узагальнення формули є також для многовидів і потоків для векторних полів.
Нехай — диференційовний многовид, — векторні поля на ньому і — їх сума (що в кожній точці є рівною сумі відповідних векторів у дотичному просторі). Якщо , і позначають потоки відповідних векторних полів, то: для довільної точки і числа для якого визначені усі потоки.
Доведення Для довільної точки із мультиплікативної властивості потоків твердження достатньо довести для усіх достатньо малих тобто для для довільного додатного числа .
Нехай тепер — деякий координатний окіл точки на якому можна розглядати стандартну норму. Нехай і деякий окіл вибрані так, що: визначені для всіх Для дужок Лі виконується нерівність для деякого і всіх , де норма є стандартною нормою на дотичному просторі щодо координатної системи. Такий вибір можливий із неперервності дужок Лі, наприклад довільна відкрита куля з центром у зі скінченним радіусом щодо відповідних координат у координатному околі. Всі відображення є ліпшицевими і до того ж можна вибрати єдину константу для всіх , тобто для всіх таких і усіх точок із околу . Такий вибір можливий із диференційовності усіх потоків як по так і по . За окіл можна знову взяти відкриту кулю у координатному околі, а за тоді — довільне число для якого у довільному околі замкнутого інтервалу для всіх точок .
Додатково число можна зменшити так щоб для всіх чисел значення і належали околу . Це можливо оскільки, і є диференційовними по для всіх а тому також і для усіх із інтервалу . Більше того можна обрати таке , яке підходить для усіх точок і потоків для обох полів. Якщо взяти таке , що відкрита кутя радіусом належить , то послідовно одержуємо, що і зокрема всі ці значення належать для .
Відповідно твердження достатньо довести у випадку евклідового простору на якому вибрані окіл з відповідними константами і , а також константа , як і вище.
Подібно до того, як у статі Дужка Лі векторних полів доводиться рівність можна також довести, що Для малих звідси випливає, що
Звідси для що задовольняють усі вищезазначені умови і достатньо великих
Якщо позначити (тоді ), то у попередній формулі у правій частині є сума виразів виду:
Але:
Звідси відповідно:
Із ліпшицевої властивості відображень звідси також:
Додавши всі ці вирази одержуємо, що для достатньо великих
Права, а відповідно і ліва частина у цій нерівності прямує до 0 при прямуванні до безмежності, що і є твердженням у цій версії формули добутку.
Примітки
Див. також
Експонента матриці Експонента (теорія гру Лі) Формула Бейкера — Кемпбелла — Гаусдорфа