Матричні підсумовування — це клас методів узагальненого підсумовування послідовностей i рядів, у яких нова послідовність часткових сум отримується за допомогою лінійного перетворення, заданого нескінченною матрицею.
Матричні методи підсумовування використовуються для надання змісту розбіжним рядам, згладжування коливань часткових сум, в задачах гармонічного аналізу, теорії Фур'є.
Нехай — числова матриця, а — послідовність часткових сум деякого ряду чи послідовності. -перетворенням послідовності називається послідовність
.
Якщо послідовність має границю , то говорять, що послідовність -підсумовна до Aasma, A., Dutta, H., Natarajan, P. N. (2017) , 1–19..
Тобто ідея полягає в тому, щоб взяти вектор-стовпець часткових сум деякого ряду і домножити його справа до деякої матриці. І очікується, що послідовність елементів нового вектора-стовпця, що утворився після множення, буде збіжною навіть в тому випадку, якщо елементи послідовності часткових сум розбігалися.
Приклади
Класичне підсумовування
В класичному підсумовуванні сума визначається як границя часткових сум. Це тривіальний випадок і матриця одинична:
Приклад ряду :
Підсумовування за Чезаро
Підсумовування за Чезаро визначається як границя середнього арифметичного часткових сум і має наступний вигляд в матричній формі:
Приклад ряду :
Підсуовування Ейлера
Метод підсумовування Ейлера полягає в використанні біноміальних ваг і має наступний вигляд:
Даній формулі відповідає матриця
Приклад ряду з :
Зважене середнє підсумовування
Зважене середнє підсумовування визначається за допомогою допоміжної послідовності і, відповідно, ваг . Матриця має наступний вигляд:
Наприклад, при буде підсумовування за Чезаро.
Теорема Сільвермана-Тепліца
Матриця є регулярною (тобто зберігає границю кожної збіжної послідовності) тоді й лише тоді, коли виконуються такі умови:
, , Silverman–Toeplitz theorem, by Ruder, Brian, Published 1966, Call number LD2668.R4 1966 R915, Publisher Kansas State University, Internet Archive, 21-22.,
Інакше кажучи, якщо
елементи кожного стовпця прямують до нуля, сума коефіцієнтів у рядку асимптотично дорівнює одиниці, сума абсолютних значень елементів кожного рядка обмежена.
то відповідний матричний метод не змінює суму жодної збіжної послідовності (або ряду). Тобто зі збіжності послідовності часткових сум до випливає збіжність до і цим матричним методом. Така властивість підсумовувань називається регулярністю, 43-48..
Див. також
Підсумовуючі функції Розбіжний ряд Збіжність за Чезаро Збіжність за Пуассоном-Абелем Збіжність за Борелем
Примітки