Вмороженість магнітного поля або теорема Альвена, — теорема в магнітогідродинаміці ідеально електропровідної рідини, згідно з якою силові лінії магнітного поля рухаються разом з потоком рідини. Теорема справедлива для великих магнітних чисел Рейнольдса й названа на честь Ганнеса Альвена, який висунув цю ідею 1943 року. Теорема порушується в струмових шарах, де може відбуватися магнітне перез'єднання.
Історія Ідею про те, що магнітні поля «вморожені» в рідини із нескінченною електропровідністю, вперше запропонував Ганнес Альвен у статті 1943 року «Про існування електромагнітно-гідродинамічних хвиль» (), опублікованій у журналі . Він писав:
Праця «Про існування електромагнітно-гідродинамічних хвиль» інтерпретує результати раннішої статті Альвена «Існування електромагнітно-гідродинамічних хвиль» (), опублікованої в журналі Nature у 1942 році.
Пізніше Альвен застерігав від використання власної теореми.
Огляд У неформальному сенсі теорема Альвена означає фундаментальний результат ідеальної магнітогідродинаміки, згідно з яким електропровідні рідини та магнітні поля в них змушені рухатися разом у граничному випадку великих магнітних чисел Рейнольдса — наприклад, коли рідина є або коли швидкість і характерні розміри нескінченно великі. Їхній рух пов'язаний так, що будь-який об'ємний рух рідини, перпендикулярний до магнітного поля, супроводжується таким самим перпендикулярним рухом поля з тією ж швидкістю, і навпаки.
Формально зв'язок між рухом рідини та рухом магнітного поля описують два основні результати, які часто називають «збереженням магнітного потоку» та «збереженням силових ліній магнітного поля — н». Збереження магнітного потоку означає, що магнітний потік через поверхню, яка рухається разом із рідиною, залишається сталим, а збереження силових ліній означає, що якщо два елементи рідини сполучені силовою лінією, то вони залишатимуться сполученими завжди.
Потокові трубки та силові лінії
Теорему Альвена часто формулюють у термінах магнітних потокових трубок і силових ліній магнітного поля.
Трубка магнітного потоку — це трубчаста або циліндроподібна ділянка простору, що містить магнітне поле так, що її бічні поверхні всюди паралельні полю. Тому магнітний потік через ці поверхні дорівнює нулю, а поперечні перерізи вздовж довжини трубки мають сталий і однаковий магнітний потік. У границі великого магнітного числа Рейнольдса теорема Альвена вимагає, щоб ці поверхні сталого потоку рухалися разом із рідиною, в яку вони вбудовані. Отже, трубки магнітного потоку «вморожені» в рідину.
Перетин бічних поверхонь двох трубок магнітного потоку утворює силову лінію магнітного поля — криву, що всюди паралельна магнітному полю. У рідинах, у які «вморожені» трубки потоку, звідси випливає, що й силові лінії магнітного поля також «вморожені». Однак умови «вмороженості» силових ліній слабші, ніж умови «вмороженості» трубок потоку або, еквівалентно, збереження потоку.
Математичне формулювання У математичній формі теорема Альвена стверджує, що в електропровідній рідині в граничному випадку великого магнітного числа Рейнольдса магнітний потік через орієнтовну, відкриту матеріальну поверхню, що переноситься макроскопічним, залежним від простору й часу полем швидкості є сталим, тобто
де — це .
Збереження потоку В магнітогідродинаміці ідеально провідної рідини магнітна індукція домінує над на розглядуваних характерних швидкостях і масштабах довжин. Тому дифузійний член у керівному вважають малим порівняно з індукційним, і ним нехтують. Унаслідок цього рівняння індукції набуває ідеальної форми:
Збереження магнітного потоку через матеріальні поверхні, вбудовані в рідину, безпосередньо випливає з ідеального рівняння індукції та припущення про відсутність магнітних монополів згідно із .
В електропровідній рідині з магнітним полем і полем швидкості , що залежать від просторових і часових координат, довільна орієнтовна відкрита поверхня у момент часу переноситься полем за малий час у поверхню . Швидкість зміни магнітного потоку через цю поверхню під час її перенесення з до дорівнює
Поверхневий інтеграл за можна переписати, застосувавши закон Гаусса для магнетизму: магнітний потік через замкнену поверхню, утворену , і поверхнею , що з'єднує їхні межі, дорівнює нулю. У момент часу це співвідношення має вигляд
де орієнтацію змінено так, щоб було спрямоване назовні від об'єму. У поверхневому інтегралі за елемент поверхні , де — елемент контуру вздовж межі поверхні . Розв'язуючи відносно інтеграла за , отримуємо
де останній член переписано з використанням властивостей змішаного добутку та збережено лише члени першого порядку. Підставляючи це у вираз для і спрощуючи, дістаємо
Застосувавши означення частинної похідної до підінтегрального виразу першого члена, використавши теорему Стокса для другого члена та об'єднавши отримані поверхневі інтеграли, маємо
Із використанням ідеального рівняння індукції підінтегральний вираз зникає, і
Збереження силових ліній Збереження силових ліній також можна вивести математично, використовуючи рівняння індукції для ідеально провідної рідини, закон Гаусса для магнетизму та рівняння неперервності.
Рівняння індукції для ідеально провідної рідини можна переписати, скориставшись векторною тотожністю та законом Гаусса для магнетизму, у вигляді
Застосовуючи рівняння неперервності,
рівняння індукції можна додатково перетворити до вигляду
Аналогічно, для відрізка , де — це швидкість плазми на одному кінці, а — швидкість на іншому кінці, різниця швидкостей між кінцями дорівнює , і , що має ту саму форму, що й раніше отримане рівняння для . Отже, якщо і спочатку паралельні, вони залишатимуться паралельними.
Хоча збереження потоку означає збереження силових ліній, умови для останнього є слабшими, ніж умови для першого. На відміну від умов збереження потоку, умови збереження силових ліній можуть виконуватися за наявності в рівнянні індукції додаткового джерельного члена, паралельного магнітному полю.
Математично, щоб силові лінії були «вморожені» у середовище, рідина має задовольняти умову
тоді як для збереження потоку рідина повинна задовольняти сильнішу умову, задану рівнянням індукції для ідеально провідної рідини.
Теорема Кельвіна про циркуляцію Теорема Кельвіна про циркуляцію стверджує, що вихрові трубки, які рухаються разом з ідеальною рідиною, «вморожені» у неї, подібно до того, як магнітні потокові трубки, що рухаються разом з ідеальною рідиною з нескінченною електропровідністю, залишаються «вмороженими» у середовище. Рівняння індукції для ідеально провідної рідини має ту саму форму, що й рівняння для завихреності в ідеальній рідині, де — поле швидкості:
Однак рівняння індукції є лінійним, тоді як у рівнянні для завихреності зв'язок між та є нелінійним.
Наслідки Теорема Альвена показує, що топологія магнітного поля не може змінюватися в ідеально провідній рідині. Однак у випадку складних або турбулентних течій це призвело б до сильно заплутаних магнітних полів із дуже складною топологією, які мали б перешкоджати руху рідини. Астрофізична плазма з високою електропровідністю зазвичай не демонструють настільки складно переплутаних полів. У таких плазмах, на відміну від передбачень умови «вмороженого» потоку, відбувається магнітне перез'єднання. Це має важливі наслідки для магнітних динамо. Насправді дуже висока електропровідність відповідає великим магнітним числам Рейнольдса, що свідчить про турбулентний характер плазми.
Рідини зі скінченним спротивом Навіть у неідеальному випадку, коли електропровідність не є нескінченною, можна отримати подібний результат, якщо ввести швидкість перенесення магнітного потоку,
де замість швидкості рідини використовують швидкість потоку . Хоча в деяких випадках це поле швидкості можна знайти з рівнянь магнітогідродинаміки, існування та єдиність цього векторного поля залежать від конкретних умов.
Стохастична теорема Альвена Дослідження XXI століття показали, що класична теорема Альвена несумісна з явищем спонтанної стохастичності. Стохастичні закони збереження, розроблені для опису гідродинамічної поведінки, також застосовні в магнітогідродинаміці. Використання тих самих методів дає результати, еквівалентні класичній теоремі Альвена за ідеальних умов, і водночас описує збереження потоку та магнітне перез'єднання в неідеальних (реальних) умовах. Отже, стохастичні моделі «вморожування» потоку краще описують спостережувані явища без опори на ідеалізовані припущення, які рідко або взагалі не виконуються в природі.
Узагальнена форма цієї теореми стверджує, що силові лінії дрібномасштабного магнітного поля є «вмороженими» у стохастичні траєкторії, які задовольняють наступне стохастичне диференціальне рівняння, відоме як рівняння Ланжевена: , де — магнітна дифузивність, а — тривимірний гауссівський білий шум (див. також вінерівський процес). Щоб отримати фізичне значення магнітного поля в заданій точці, потрібно усереднити багато віртуальних векторів поля, які приходять у цю саму точку.
Примітки