Семивимірний векторний добуток — в математиці, це двомісна операція над векторами у 7-вимірному Евклідовому просторі
що за означенням має такі властивості 3-вимірного векторного добутку: білінійність, ортогональність:
нормованість:
де (x·y) — евклідів скалярний добуток, |x| — евклідова норма. Дві останні властивості можна замінити на одну:
де θ — кут між векторами, а добуток дорівнює площі паралелограма зі сторонами x та y.
Властивості Із властивостей перечислених в означенні отримуємо додаткові властивості: Антикомутативність:
Мішаний добуток:
Тотожність Мальцева:
Властивості, що присутні у 3-вимірному випадку, і не виконуються у 7-вимірному: Подвійний векторний добуток:
Тотожність Якобі:
Зв'язок з октоніонами Теорема Гурвіца про композитні алгебри вичерпує всі нормовані композитні алгебри розмірностями 1, 2, 4 та 8, а саме: дійсними числами, комплексними числами, кватерніонами та октоніонами.
Якщо взяти уявну частину добутку таких гіперкомплексних чисел (вона матиме розмірність на 1 меншу, відповідно: 0, 1, 3 та 7), то отримаємо формулу з властивостями вказаними в означенні векторного добутку: білінійність, нормованість та ортогональність (для доведення ортогональності використовується властивість гнучкості множення таких чисел):
Отримаємо: для розмірності 0 — нульовий результат; для розмірності 1 — звичайне множення; для розмірності 3 — з добутку кватерніонів отримаємо векторний добуток; для розмірності 7 — з добутку октоніонів отримаємо 7-вимірний векторний добуток.
І навпаки, зі скаляра з та вектора розмірності 0, 1, 3 та 7 із , використовуючи скалярне та векторне множення можна отримати гіперкомплексні числа з білінійним нормованим множенням в :
7-вимірний векторний добуток не задовільняє тотожність Якобі саме через неасоціативність октоніонів:
де [x, y, z] — асоціатор.
Запис в базисі На відміну від 3-вимірного випадку, 7-вимірний векторний добуток не визначає напрямок однозначно, оскільки є 5-вимірний простір напрямків ортогональних до площини векторів-множників. І ортонормований базис в ньому можна вибрати довільно. Потрібно задати таблицю множення базисних векторів, враховуючи: (ортогональність) (антикомутативність) (тотожність Мальцева). Тобто із значень потрібно задати лишень . Наприклад як:
де — символ Леві-Чивіти, для комбінацій .
де i, i+1 та i+2 приймають значення 1 .. 7 (mod 7).
Загалом є комбінацій, не враховуючи інверсій знаків. × ×
Примітки