Адаптивне уточнення сітки () — чисельний метод підвищення точності розв'язку, в якому під час обчислення динамічно підвищується рівень деталізації розрахункової сітки в певних чутливих або турбулентних ділянках моделювання, натомість як рівень деталізації в більш однорідних частинах системи залишається низьким для заощадження обчислювальних ресурсів.
Коли розв'язки обчислюють чисельно, їх часто обмежують наперед заданими дискретними сітками, як-от у декартовій площині, що утворюють обчислювальну сітку. Однак багато задач чисельного аналізу не потребують однакової точності на всій сітці, яку використовують для побудови графіків або моделювання; натомість доцільно підвищувати точність лише в тих областях, де це справді необхідно. Адаптивне уточнення сітки забезпечує саме таке динамічне середовище, у якому точність обчислень підлаштовується під вимоги задачі в окремих ділянках багатовимірних систем, залишаючи в інших областях нижчий рівень точності й роздільної здатності.
Цю динамічну техніку адаптації точності обчислень до конкретних вимог пов'язують із роботами , і , які розробили алгоритм динамічного розбиття сітки, відомий як локальне адаптивне уточнення сітки (). Згодом адаптивне уточнення сітки довело свою універсальність: його застосовують, зокрема, для дослідження турбулентності в гідродинаміці, а також для вивчення великомасштабних структур в астрофізиці, як-от у .
Розвиток адаптивного уточнення сітки
У серії статей , і розробили алгоритм динамічного розбиття сітки, який назвали локальним адаптивним уточненням сітки (). Алгоритм починає з покриття всієї області обчислень грубою базовою регулярною декартовою сіткою. У процесі обчислення окремі комірки сітки обирають для подальшого уточнення за певним критерієм, який може задавати користувач (наприклад, щоб в комірці була розташована певна маса, тож області з більшою густиною подрібнюють сильніше) або визначатися за допомогою екстраполяції Річардсона.
Після цього всі позначені комірки уточнюють, тобто накладають на грубу сітку дрібнішу. Далі окремі блоки сітки з фіксованим рівнем уточнення передають до інтегратора, який просуває розв'язок у часі для цих комірок. На завершення виконують процедуру корекції на перенос на межах між грубими та дрібними комірками, щоб забезпечити закони збереження фізичних величин: кількість будь-якої збережуваної величини, що виходить із комірки, точно дорівнює кількості, яка входить у сусідню. Якщо в певний момент рівень уточнення в комірці перевищує необхідний, детальну сітку можна вилучити й замінити грубішою.
Це дає змогу розв'язувати задачі, які є практично нерозв'язними на . Наприклад, астрофізики застосовують адаптивне уточнення сітки для моделювання колапсу ядра гігантської молекулярної хмари з ефективною роздільною здатністю 131 072 комірки на початковий радіус хмари, що відповідає роздільній здатності 1015 комірок на рівномірній сітці.
Удосконалені підходи до уточнення сітки вводять за допомогою функціоналів. Функціонали дають змогу генерувати сітки та забезпечують їх адаптацію. Серед розвинених функціоналів — функціонал Вінслоу () та модифікований функціонал Ляо ().
Застосування адаптивного уточнення сітки Під час обчислення розв'язку рівнянь мілкої води значення розв'язку (висоти води) можуть обчислюватися лише в точках, розташованих на відстані кількох метрів одна від одної, причому припускають, що між цими точками висота змінюється гладко. Отже, обмежувальним чинником роздільної здатності є крок сітки: чисельний розв'язок не відтворює структур на масштабах, менших за цей крок. Адаптивне уточнення сітки змінює відстань між вузлами сітки, щоб регулювати точність розв'язку в певній області. У прикладі з мілкою водою сітка загалом може мати крок у кілька метрів, але в місцях із великими хвилями її адаптивно уточнюють до кількох сантиметрів.
Якщо область, де потрібна підвищена роздільна здатність, залишається локалізованою протягом усього обчислення, можна застосувати «статичне уточнення сітки», коли в окремих ділянках сітка густіша, ніж в інших, але її форма не змінюється з часом. Якщо ж область, де розташовані найдрібніші структури, з часом зміщується, то й сітку доводиться змінювати з часом.
Переваги динамічних схем розбиття сітки:
Економія обчислювальних ресурсів порівняно зі статичними сітками (менша часова складність алгоритму). Менші вимоги до пам'яті порівняно зі статичними сітками (менша просторова складність). Повний контроль над роздільною здатністю сітки, на відміну від фіксованої роздільної здатності статичних сіток або лагранжевих методів згладжених частинок. Порівняно з наперед налаштованими статичними сітками, адаптивний підхід потребує менш детальних апріорних знань про еволюцію розв'язку. Обчислювальні витрати успадковують властивості фізичної системи.
Крім того, методи адаптивного уточнення сітки розробили й застосували до широкого кола задач механіки рідин, зокрема двофазних течій, взаємодії рідини зі структурою, а також перетворювачів енергії хвиль.
Див. також
Адаптивний розмір кроку Багатосітковий метод Дерево квадрантів
Примітки