Коефіцієнти Айнштайна — величини в атомній, молекулярній та оптичній фізиці, що описують ймовірність поглинання або випромінювання фотона атомом або молекулою. Коефіцієнти Айнштайна А пов'язані зі швидкістю спонтанного випромінювання світла, а коефіцієнти Айнштайна B — з поглинанням та вимушеним випромінюванням світла. У цій статті «світло» стосується будь-якого електромагнітного випромінювання, не обов'язково у видимому діапазоні.

Ці коефіцієнти названі на честь Альберта Айнштайна, який ввів їх у 1916 році.

Спектральні лінії У фізиці спектральну лінію розглядають з двох точок зору.

Лінія випромінювання виникає, коли атом або молекула переходить із певного дискретного енергетичного рівня атома на нижчий енергетичний рівень , випромінюючи фотон із певною енергією та довжиною хвилі. Спектр багатьох таких фотонів міститиме емісійну лінію на довжині хвилі, що відповідає резниці енергій між цими станами.

Лінія поглинання виникає, коли атом або молекула переходить із нижчого рівня на вищий дискретний енергетичний стан , поглинаючи при цьому фотон. Зазвичай ці фотони походять від фонового неперервного випромінювання (повного спектра електромагнітного випромінювання), тому в спектрі спостерігається зменшення інтенсивності неперервного випромінювання на довжині хвилі, що відповідає поглинутим фотонам.

Обидва стани мають бути , у яких електрон залишається зв'язаним з атомом або молекулою, тому такий перехід іноді називають зв'язано-зв'язаним переходом, на відміну від переходу, під час якого електрон повністю залишає атом (зв'язано–вільний перехід) і переходить у стан континууму, залишаючи іонізований атом та утворюючи не лінію, а неперервний спектр.

Під час цього процесу випромінюється або поглинається фотон з енергією, що дорівнює різниці між енергетичними рівнями. Частота , на якій виникає спектральна лінія, пов'язана з енергією фотона через співвідношення Планка — Айнштайна , де позначає сталу Планка Translated in ..

Коефіцієнти випромінювання та поглинання

Атомна спектральна лінія описує процеси випромінювання та поглинання в газі, де — щільність атомів у верхньому енергетичному стані для цієї лінії, а — щільність атомів у нижньому енергетичному стані.

Випромінювання атомної лінії на частоті можна описати за допомогою коефіцієнта випромінювання з одиницями енергія/(час × об'єм × тілесний кут). Тоді ε dt dV dΩ є енергією, яку елемент об'єму випромінює за час у тілесний кут . Для випромінювання атомом у спектральній лініїде — коефіцієнт Айнштайна для спонтанного випромінювання, який визначається внутрішніми властивостями двох енергетичних рівнів відповідного атома.

Поглинання лінійного випромінювання атомом можна описати за допомогою коефіцієнта поглинання з одиницями 1/довжина. Вираз κ' dx задає частку інтенсивності, яка поглинається зі світлового пучка на частоті під час проходження відстані dx. Коефіцієнт поглинання дорівнюєде і — коефіцієнти Айнштайна для поглинання фотона та вимушеного випромінювання відповідно. Як і коефіцієнт , вони також визначаються внутрішніми властивостями відповідного атома та двох енергетичних рівнів. Для термодинамічних застосувань та для закону Кірхгофа для теплового випромінювання необхідно виразити повне поглинання як алгебраїчну суму двох складових, що описуються відповідно та . Їх можна розглядати як додатне та від'ємне поглинання, які відповідають прямому поглинанню фотона та так званому вимушеному випромінюваннюBaltes, H. P. (1976). On the validity of Kirchhoff's law of heat radiation for a body in a nonequilibrium environment, Chapter 1, pages 1–25 of Progress in Optics XIII, edited by E. Wolf, North-Holland, ..

У наведених вище рівняннях не враховано вплив профіля спектральної лінії. Для точного опису ці рівняння потрібно помножити на (нормовану) форму спектральної лінії, унаслідок чого одиниці вимірювання також міститимуть множник 1/Гц.

За умов термодинамічної рівноваги щільності частинок і , коефіцієнти Айнштайна та спектральна густина енергії забезпечують достатньо інформації для визначення швидкостей поглинання та випромінювання.

Умови рівноваги

Щільності частинок і визначаються фізичним станом газу, у якому виникає спектральна лінія, зокрема локальною (або, у деяких викладах, локальною спектральною густиною енергії випромінювання). Якщо цей стан є або станом строгого термодинамічного рівноваги, або так званої локальної термодинамічної рівновагиChandrasekhar, S. (1950), p. 7.Mihalas, D., Weibel-Mihalas, B. (1984), pp. 329–330., то розподіл атомних станів збудження (який включає і ) визначає швидкості випромінювання та поглинання так, щоб виконувався закон Кірхгофа про рівність випромінювальної та поглинальної здатностей. У строгій термодинамічній рівновазі випромінювання є випромінюванням абсолютно чорного тіла й описується законом Планка. Для локальної термодинамічної рівноваги випромінювання не обов'язково має бути випромінюванням абсолютно чорного тіла, однак швидкість міжатомних зіткнень повинна значно перевищувати швидкості поглинання й випромінювання квантів світла, щоб саме міжатомні зіткнення повністю визначали розподіл збуджених атомів за станами. Існують умови, за яких локальна термодинамічна рівновага не встановлюється, оскільки сильний вплив випромінювання бере гору над прагненням термодинамічної системи до розподілу Максвелла — Больцмана. Наприклад, в атмосфері Сонця домінує дуже інтенсивне випромінювання. У верхній атмосфері Землі, на висотах понад 100 км, вирішальним чинником стає мала кількість міжмолекулярних зіткнень.

У випадках термодинамічної рівноваги та локальної термодинамічної рівноваги щільності атомів, як збуджених, так і незбуджених, можна обчислити за розподілом Максвелла — Больцмана, але в інших випадках (наприклад, у лазерах) такі обчислення є складнішими.

Коефіцієнти Айнштайна 1916 року Альберт Айнштайн запропонував, що під час формування атомної спектральної лінії відбуваються три процеси. Ці процеси називають спонтанним випромінюванням, вимушеним випромінюванням і поглинанням. Кожному з них відповідає коефіцієнт Айнштайна, який характеризує ймовірність відповідного процесу. Айнштайн розглядав випадок ізотропного випромінювання з частотою та спектральною густиною енергії Loudon, R. (2000), Section 1.5, pp. 16–19. Translated in Also in Boorse, H. A., Motz, L. (1966). The world of the atom, edited with commentaries, Basic Books, Inc., New York, pp. 888–901.. Поль Дірак вивів ці коефіцієнти у статті 1927 року під назвою «Квантова теорія вивільнення та поглинання випромінювання» ().

Різні формулювання

Гілборн порівняв різні формулювання виведення коефіцієнтів Айнштайна, запропоновані різними авторами. Наприклад, Герцберг використовує опроміненість і хвильове числоHerzberg, G. (1950).. Ярів працює з енергією на одиницю об'єму та одиницю частотного інтервалуYariv, A. (1967/1989), pp. 171–173., як і в пізнішому формулюванні 2008 рокуGarrison, J. C., Chiao, R. Y. (2008), pp. 15–19.. Мігалас і Вайбель-Мігалас використовують яскравість і частоту, так само як і ЧандрасекарChandrasekhar, S. (1950), p. 354., а також Гуді й ЮнгGoody, R. M., Yung, Y. L. (1989), pp. 33–35.; Лаудон використовує кутову частоту та яскравістьLoudon, R. (1973/2000), pp. 16–19..

Спонтанне випромінювання

Спонтанне випромінювання — це процес, під час якого електрон «спонтанно» (тобто без зовнішнього впливу) переходить з вищого енергетичного рівня на нижчий. Цей процес описується коефіцієнтом Айнштайна A21 (розмірністю с−1), який задає ймовірність того, що за одиницю часу електрон у стані 2 з енергією спонтанно перейде в стан 1 з енергією , випромінивши фотон з енергією . Через співвідношення невизначеностей для енергії та часу цей перехід насправді породжує фотони в межах вузького діапазону частот, який називають природною шириною спектральної лінії. Якщо — концентрація атомів у стані i, то зміна концентрації атомів у стані 2 за одиницю часу внаслідок спонтанного випромінювання дорівнює

Той самий процес спричиняє збільшення заселеності стану 1:

Вимушене випромінювання

Вимушене випромінювання — це процес, під час якого електрон під впливом електромагнітного випромінювання з частотою переходу (або близькою до неї) переходить з вищого енергетичного рівня на нижчий. З погляду термодинаміки цей процес слід розглядати як від'ємне поглинання. Процес описується коефіцієнтом Айнштайна (м3 Дж−1 с−2), який задає ймовірність того, що за одиницю часу, одиницю густини енергії поля випромінювання та одиницю частотного інтервалу електрон у стані 2 з енергією перейде в стан 1 з енергією , випромінивши фотон з енергією . Зміна концентрації атомів у стані 1 за одиницю часу внаслідок індукованого випромінювання дорівнюєде позначає спектральну густину енергії ізотропного поля випромінювання на частоті переходу (див. закон Планка).

Вимушене випромінювання є одним із фундаментальних процесів, що привели до створення лазера. Проте лазерне випромінювання дуже далеке від розглянутого тут випадку ізотропного випромінювання.

Поглинання фотонів

Поглинання — це процес, під час якого атом поглинає фотон, а електрон переходить з нижчого енергетичного рівня на вищий. Процес описується коефіцієнтом Айнштайна (м3 Дж−1 с−2), який задає ймовірність того, що за одиницю часу, одиницю густини енергії поля випромінювання та одиницю частотного інтервалу електрон у стані 1 з енергією поглине фотон з енергією і перейде в стан 2 з енергією . Зміна концентрації атомів у стані 1 за одиницю часу внаслідок поглинання дорівнює Детальна рівновага Коефіцієнти Айнштайна є фіксованими ймовірностями за одиницю часу, пов’язаними з кожним атомом, і не залежать від стану газу, до складу якого входять ці атоми. Тому будь-яке співвідношення між цими коефіцієнтами, виведене, наприклад, для термодинамічної рівноваги, буде універсальним.

У стані термодинамічної рівноваги виконується проста рівновага: сумарна зміна кількості будь-яких збуджених атомів дорівнює нулю, оскільки втрати й прирости через усі процеси взаємно компенсуються. Для зв'язано-зв'язаних переходів також виконується принцип детальної рівноваги, який стверджує, що сумарний обмін між будь-якими двома рівнями перебуває в рівновазі. Це пов’язано з тим, що ймовірності переходів не можуть залежати від наявності або відсутності інших збуджених атомів. Детальна рівновага вимагає, щоб зміна з часом кількості атомів на рівні 1 внаслідок трьох наведених вище процесів дорівнювала нулю:

Разом із детальною рівновагою для температури можна використати знання про рівноважний розподіл енергії атомів, заданий розподілом Максвелла — Больцмана, а також про рівноважний розподіл фотонів, заданий законом Планка для випромінювання чорного тіла, щоб вивести універсальні співвідношення між коефіцієнтами Айнштайна.

Із розподілу Больцмана для кількості збуджених атомів типу i маємо:де n — повна концентрація атомів, як збуджених, так і незбуджених, k — стала Больцмана, T — температура, — ваговий коефіцієнт, який залежить від виродження стану i, а Z — статистична сума. Із закону Планка для випромінювання чорного тіла при температурі маємо для спектральної яскравості (яскравість — це енергія на одиницю часу, одиницю тілесного кута та одиницю спроєктованої площі, проінтегрована за відповідним спектральним інтервалом)Robert W. Boyd, Radiometry and the Detection of Optical Radiation, John Wiley and Sons, 1983 на частоті де — швидкість світла, а — стала Планка.

Підставивши ці вирази в рівняння детальної рівноваги та врахувавши, що , отримуємоабо

Наведене вище рівняння повинно виконуватися за будь-якої температури, тому з граничному випадку отримуємоа у випадку Отже, три коефіцієнти Айнштайна пов’язані співвідношеннямита

Підставивши ці співвідношення у вихідне рівняння, можна також отримати зв’язок між і , який містить закон Планка.

Сили осцилятора Сила осцилятора визначається через такий зв’язок із перерізом поглинання :