Нерозширюваний горизонт, або ж non-expanding horizon (NEH) – це замкнена нульова поверхня, внутрішня структура якої зберігається. NEH – це геометричний прототип ізольованого горизонту, який описує чорну діру в рівновазі зі своєю зовнішньою частиною з квазілокальної точки зору. Саме на основі концепції та геометрії NEH розроблено два квазілокальні визначення чорних дір: слабо ізольовані горизонти та ізольовані горизонти.
Визначення NEH-ів Тривимірний підмноговид ∆ визначається як узагальнений (обертовий та спотворений) NEH, якщо він відповідає таким умовамAbhay Ashtekar, Christopher Beetle, Olaf Dreyer, et al. "Generic isolated horizons and their applications". Physical Review Letters, 2000, 85(17): 3564-3567. arXiv:gr-qc/0006006v2Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Jerzy Lewandowski. "Geometry of generic isolated horizons". Classical and Quantum Gravity, 2002, 19(6): 1195-1225. arXiv:gr-qc/0111067v2Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. "Isolated horizons: Hamiltonian evolution and the first law". Physical Review D, 2000, 62(10): 104025. gr-qc/0005083:
∆ є нульовим і топологічно ; Вздовж будь-якого поля нульової нормальності дотична до ∆, швидкість вихідного розширення зникає; Усі рівняння поля виконуються для ∆, а тензор енергії-напруження на ∆ таке, що є вектором причинно-наслідкових зв'язків, спрямованим у майбутнє ( ) для будь-якої нульової нормальної, спрямованої в майбутнє . Перша умова є досить тривіальною та лише констатує загальний факт, що з точки зору 3+1Thomas W Baumgarte, Stuart L Shapiro. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Chapter 2: The 3+1 decomposition of Einstein's equations, page 23. NEH ∆ розшаровується просторово-подібними 2-сферами ∆'=S2, де S2 підкреслює, що ∆' є топологічно компактним з родом нуль (). Сигнатура ∆ є (0,+,+) з виродженою часовою координатою, а внутрішня геометрія листа розшарування ∆'=S2 є нееволюційною.
Властивість у другій умові відіграє ключову роль у визначенні граничних умов NEH, і багаті наслідки, закодовані в ній, будуть детально обговорені нижче.
Третя умова своєю чергою дозволяє вільно застосовувати формалізм Ньюмена-Пенроуза (НП)Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Exact Space-Times in Einstein's General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Chapter 2.Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments. Berlin: Springer, 1998. Appendix E. рівнянь поля Ейнштейна-Максвелла до горизонту та його пригоризонтної околиці; крім того, сама енергетична нерівність мотивована умовою домінування енергіїEric Poisson. A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Chapters 2 and 3. і є достатньою умовою для виведення багатьох граничних умов NEH.
Примітка: У цій статті, дотримуючись домовленості, встановленої в посиланнях, "капелюх" над символом рівності означає рівність на горизонтах чорних дір (NEH) та "капелюх" над величинами та операторами ( , тощо) позначає ті, що знаходяться на листі розшарованості горизонту. Також ∆ є стандартним символом як для NEH, так і для спрямованої похідної ∆ у формалізмі НП, і ми вважаємо, що це не спричинить неоднозначності.
Граничні умови, що випливають з визначення Тепер давайте розглянемо наслідки визначення NEH, і ці результати будуть виражені мовою формалізму НП з домовленістю
(Примітка: на відміну від початкової домовленостіEzra T Newman, Roger Penrose. "An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients". Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.Ezra T Newman, Roger Penrose. "Errata: An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients". Journal of Mathematical Physics, 1963, 4(7): 998. , це звичайний метод, який використовується для вивчення захоплених нульових поверхонь та квазілокальних визначеньIvan Booth. "Black hole boundaries". Canadian Journal of Physics, 2005, 83(11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv:gr-qc/0508107v2] чорних дір).
Будучи нульовою нормаллю до ∆, автоматично є геодезичною, , і без скручування, .
Для NEH, вихідна швидкість розширення вздовж зникає, , і, як наслідок, .
Більше того, згідно з рівнянням розширення-скручування Райчаудхурі-НПSubrahmanyan Chandrasekhar. The Mathematical Theory of Black Holes. Chicago: University of Chicago Press, 1983. Section 9(a), page 56.,
звідси випливає, що на ∆
де – коефіцієнт НП-зсуву. Завдяки припущеній енергетичній третій умові, маємо ( ), і тому є невід'ємним на ∆. Добуток звичайно, також невід'ємний.
Отже, і повинні одночасно дорівнювати нулю на ∆, тобто і Підсумовуючи,
Таким чином, ізольований горизонт ∆ є нееволюційним, і всі листки розшарованості ∆'= S² виглядають ідентично один одному.
Співвідношення означає, що причинний вектор в третій умові пропорційна і пропорційна на горизонті ∆; тобто, і ,
Застосовуючи цей результат до пов'язаних скалярів Річчі-НП, отримуємо , та . Таким чином,
Зникнення скалярів Річчі-НП означає, що через горизонт немає потоку енергії-імпульсу будь-якого заряду, такого як електромагнітні хвилі, потік Янга-Міллса або потік дилатонів. Також не повинно бути гравітаційних хвиль, що перетинають горизонт; однак гравітаційні хвилі є поширенням збурень просторово-часового континууму, а не потоків зарядів, і тому зображуються чотирма скалярами Вейля-НП (за винятком ), а не величини Річчі-НП . Згідно з рівнянням зсуву Райчаудхурі-НПSubrahmanyan Chandrasekhar. The Mathematical Theory of Black Holes. Chicago: University of Chicago Press, 1983. Section 9(a), page 56.
або рівняння поля НП на горизонті
випливає, що .
Більше того, рівняння НП
означає, що Підсумовуючи, ми маємо
що означає, що геометрично головний нульовий напрямок тензора Вейля повторюється двічі та вирівняна з головним напрямком; фізично, жодна гравітаційна хвиля (поперечна складова і поздовжній компонент ) не входить у чорну діру. Цей результат узгоджується з фізичним сценарієм, що визначає NEH.
Ремарки: Коефіцієнти спіну, пов'язані з рівнянням Райчаудхурі Для кращого розуміння попереднього розділу ми коротко розглянемо значення відповідних спінових коефіцієнтів НП для зображення нульових конгруенцій. Тензорна форма рівняння РайчаудхуріSayan Kar, Soumitra SenGupta. The Raychaudhuri equations: a brief review. Pramana, 2007, 69(1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc/0611123] що описує нульові потоки, має вигляд
де визначено так, що . Величини в рівнянні Райчаудхурі пов'язані зі спіновими коефіцієнтами черезDavid McMahon. Relativity Demystified - A Self-Teaching Guide. New York: McGraw-Hill, 2006. Chapter 9.Alex Nielsen. PhD thesis: Black Hole Horizons and Black Hole Thermodynamics. University of Canterbury, 2007. Section 2.3. Available online: http://ir.canterbury.ac.nz/handle/10092/1363.
де рівняння (10) безпосередньо випливає з і
До того ж нульова конгруенція є гіперповерхневою та ортогональною, якщо
Обмеження, пов'язані з електромагнітними полями Вакуумні NEH, на яких є найпростішими типами NEH-ів, але загалом навколо NEH можуть бути різні фізично значущі поля, серед яких нас найбільше цікавлять електровакуумні поля з Це найпростіше розширення вакуумних NEH, а незнижувальний тензор енергії-напруження для електромагнітних полів має вигляд
де стосується антисиметричного ( , ) напруженість електромагнітного поля, та не містить слідів ( ) за визначенням та враховує умову домінуючої енергії. Однак з антисиметрією у визначенні скалярів Максвелла-NP слід бути обережним.
Граничні умови, отримані в попередньому розділі, застосовні до типових граничних умов (NEH). В електромагнітному випадку, можна визначити більш конкретним чином. Згідно з НП-формалізмом рівнянь Ейнштейна-Максвелла, маємо
де позначаємо три скаляри Максвелла-NP. Як альтернативу рівнянню(), ми можемо бачити, що умова також є результатом рівняння НП
як , отже
З цього прямо випливає, що
Ці результати показують, що електромагнітні хвилі відсутні ( , ) або вздовж NEH, за винятком нульових геодезичних, що утворюють горизонт.
Варто також зазначити, що додаткове рівняння у рівнянні() справедливе лише для електромагнітних полів; наприклад, у випадку полів Янга-Міллса буде де є скалярами Янга-Міллса-НПE T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes. page 27, Appendix A.2. In A Held (Editor): General relativity and gravitation: one hundred years after the birth of Albert Einstein. Vol(2). New York and London: Plenum Press, 1980..
Адаптована тетрада на NEH-и та подальші властивості Зазвичай, для досягнення найстисліших описів НП використовуються нульові тетради, адаптовані до властивостей простору-часу. Наприклад, нульову тетраду можна адаптувати до головних нульових напрямків, як тільки відомий тип Петрова.
Також у деяких типових граничних областях, таких як нульова нескінченність, часоподібна нескінченність, простороподібна нескінченність, горизонти чорних дір та космологічні горизонти, тетради можна адаптувати до граничних структур. Аналогічно, бажана тетрада, адаптована до геометричної поведінки на горизонті, використовується в літературі для подальшого дослідження NEH.
Як випливає з 3+1-підходу в першій означення, неекстремальний горизонт подій (NEH) ∆ розшаровується на просторовоподібні гіперповерхні ∆'=S2, які є трансверсальними до його нульової нормалі вздовж вхідної нульової координати . Використовується стандартне позначення вхідних нульових координат Еддінгтона–Фінкельштейна, де слугує параметром для двовимірних листків S при , тобто
.
Координату обирають майбутньо-спрямованою, а перший коваріантний тетрадний вектор задають у вигляді .
Тоді існує єдине векторне поле , яке є нульовою нормаллю до поверхонь та задовольняє умови перехресного нормування
і афінної параметризації
.
Такий вибір пари фактично визначає привілейоване розшарування горизонту ∆.
Якщо вектори пов’язані із зовнішньою геометрією горизонту та його нульовими генераторами (тобто нульовими потоками або конгруенціями геодезичних на ∆), то дві інші комплексні нульові вектори описують внутрішню геометрію листка розшарування . Вони дотичні до ∆, трансверсальні до і задовольняють умови .
Тепер розглянемо наслідки використання такого адаптованого тетрадного базису.
з , у нас є
Також, у такій адаптованій системі відліку, похідна на має бути суто внутрішньою.
Таким чином, у комутаторі
коефіцієнти для спрямованих похідних а ∆ мають дорівнювати нулю, тобто
тож вхідне нульове нормальне поле не скручується завдяки , та дорівнює вхідній швидкості розширення .
Обговорення Наразі було введено визначення та граничні умови NEH. Граничні умови включають умови для довільного NEH, специфічні характеристики для NEH Ейнштейна-Максвелла (електромагнітних), а також додаткові властивості в адаптованій тетраді. На основі NEH можна визначити WIH, які мають дійсну поверхневу гравітацію, для узагальнення механіки чорної діри. WIH достатні для вивчення фізики на горизонті, але для геометричних цілей на WIH можна накласти сильніші обмеження, щоб ввести IH, де клас еквівалентності нульових нормалей повністю зберігає індукований зв'язок на горизонті.
Посилання