Структура Вейра — Фелана — тривимірна геометрична структура, що являє собою ідеалізовану піну з бульбашок однакового розміру двох різних форм. 1993 року та Роберт Фелан виявили, що ця структура є кращим розв'язком задачі Кельвіна про мозаїчне покриття простору комірками однакового об'єму з мінімальною площею поверхні, ніж попередній найкращий розв'язок — структура Кельвіна.

Історія та задача Кельвіна У двовимірному випадку розбиття площини на комірки однакової площі з мінімальним середнім периметром визначає гексагональна мозаїка. Перша згадка про цю так звану сягає часів давньоримського вченого Марка Теренція Варрона (116–27 до н. е.), але довести її вдалося лише 1999 року . У 1887 році лорд Кельвін поставив аналогічне запитання для тривимірного простору: як розбити простір на комірки однакового об'єму з мінімальною площею поверхні між ними? Або коротко: яка піна з мильних бульбашок є найефективнішою? Цю задачу згодом почали називати задачею Кельвіна.

Кельвін запропонував піну, яку називають структурою Кельвіна. Вона базується на  — , утвореному усіченими октаедрами. Ця структура заповнює простір опуклими многогранниками з 6 квадратними та 8 шестикутними гранями. Однак ця структура не задовольняє , сформульовані Жозефом Плато в XIX столітті, згідно з якими мінімальні поверхні піни сходяться під кутами уздовж ребер, а самі ребра сходяться по чотири під кутами . У поліедральній моделі кути інші: наприклад, ребра сходяться під кутами на квадратних гранях та на шестикутних. Тому в запропонованій Кельвіном структурі використовують криволінійні ребра та дещо викривлені мінімальні поверхні граней, що задовольняють закони Плато й зменшують площу поверхні приблизно на 0,2 % порівняно з відповідною поліедральною структурою.

Хоча Кельвін прямо не формулював це як гіпотезу write that it is «implicit rather than directly stated in Kelvin's original papers», ідея про те, що піна на основі двічі усеченого кубічного стільника є найефективнішою та розв'язує задачу Кельвіна, стала відомою як гіпотеза Кельвіна. У неї довго вірили, і понад 100 років не було відомо жодного контрприкладу. Нарешті у 1993 році фізик з дублінського Триніті-коледжу разом зі своїм студентом Робертом Феланом за допомогою комп'ютерного моделювання піни відкрили структуру Вейра — Фелана й показали, що вона ефективніша, тим самим спростувавши гіпотезу Кельвіна.

Після відкриття структури Вейра — Фелана знайшли й інші контрприклади до гіпотези Кельвіна, однак серед них саме ця структура має найменшу відому площу поверхні на комірку. Хоча чисельні експерименти вказують на її оптимальність, строго доведення досі немає. Загалом довести оптимальність структур із мінімальними поверхнями дуже складно. Мінімальність сфери як поверхні, що обмежує зв'язний об'єм, довели лише у XIX столітті, а наступна за складністю задача — про обмеження двох об'ємів — залишалася нерозв'язаною понад 100 років, поки її не довели у 2002 році.

Опис

Структура Вейра — Фелана відрізняється від структури Кельвіна використанням двох типів комірок, хоча їхні об'єми однакові. Як і в структурі Кельвіна, ці комірки комбінаторно еквівалентні опуклим многогранникам. Один тип — це піритоедр, нерегулярний додекаедр із п'ятикутними гранями, що має тетраедричну симетрію (Th). Другий — це різновид , тобто з двома шестикутними та дванадцятьма п'ятикутними гранями; у цьому випадку він має лише дві площини дзеркальної симетрії. Як і шестикутники у структурі Кельвіна, п'ятикутники в обох типах комірок трохи викривлені. Площа поверхні структури Вейра — Фелана приблизно на 0,3 % менша, ніж у структури Кельвіна.

Комірки-тетрадекаедри, з'єднані своїми шестикутними гранями, утворюють ланцюги у трьох взаємно перпендикулярних напрямках. Конфігурацію, комбінаторно еквівалентну структурі Вейра — Фелана, можна отримати як розбиття простору на одиничні куби, з'єднані в нескінченні квадратні призми грань до грані, утворюючи систему взаємопереплетених призм, відому як . Ці призми оточують кубічні порожнини, що складають чверть комірок кубічного розбиття, а решта три чверті припадають на самі призми. Подібно до цього, у структурі Вейра — Фелана, яка має ті самі симетрії, що й тетрастікс, 1/4 комірок є додекаедрами, а 3/4 — тетрадекаедрами.

Поліедральний стільник, пов'язаний зі структурою Вейра — Фелана (його отримують, «вирівнюючи» грані та «випрямляючи» ребра), також неформально називають структурою Вейра — Фелана. Він був відомий задовго до відкриття самої структури Вейра — Фелана, але його застосування до задачі Кельвіна залишалося поза увагою.

Застосування

У фізичних системах

Експерименти показали, що за сприятливих граничних умов бульбашки однакового об'єму спонтанно самоорганізуються у структуру Вейра — Фелана.

Відповідна поліедральна стільникова структура трапляється у двох споріднених геометріях кристалічної структури в хімії. Якщо компоненти кристалу розташовані в центрах многогранників, утворюється фаза A15, одна з фаз Франка—Каспера.

Якщо ж компоненти кристалу містяться у вершинах многогранників, таку структуру називають «тип I клатратної структури». Газогідрати, утворені метаном, пропаном і вуглекислим газом за низьких температур, мають структуру, в якій молекули води розташовані у вузлах структури Вейра — Фелана та зв'язані водневими зв'язками, а більші молекули газів містяться в поліедральних «клітках». Деякі лужні метали утворюють гідриди, силіциди та германіди з такою ж структурою, де кремній або германій займають вузли, а лужні метали — порожнини. Меланофлогіт — силікатний мінерал — також кристалізується в цю структуру. В архітектурі Структура Вейра — Фелана надихнула на проєкт Пекінського національного плавального комплексу («Водний куб») для Олімпійських ігор 2008 року.

Примітки

Посилання

3D-моделі структур Вейра-Фелана, Кельвіна та P42a Сторінка з бульбашками Вейра-Фелана з ілюстраціями та сітками, доступними для вільного завантаження для друку та виготовлення моделей. «Weaire-Phelan Smart Modular Space Settlement», Alexandru Pintea, 2017, перший індивідуальний приз у NASA Ames Space Settlement Contest