Тотожність Бельтрамі, названа на честь Еудженіо Бельтрамі, — це окремий випадок рівняння Ейлера – Лагранжа у варіаційному численні.
Рівняння Ейлера – Лагранжа використовують для знаходження екстремумів функціоналів вигляду
де та — сталі, а .
Якщо , то рівняння Ейлера – Лагранжа зводиться до тотожності Бельтрамі
де — стала.Weisstein, Eric W. "Euler-Lagrange Differential Equation." З MathWorld--A Wolfram Web Resource. Див. Рівняння (5).Таким чином, перетворення Лежандра від функції Лагранжа (тобто гамільтоніан) залишається незмінним вздовж динамічної траєкторії.
Виведення За ланцюговим правилом, похідна від дорівнює
Оскільки , можемо записати наступну рівність:
З рівняння Ейлера – Лагранжа маємо вираз для
який можна підставити у попередній вираз для і отримати
За правилом добутку, права частина дорівнює
Після інтегрування обох частин і перенесення всіх членів в одну частину рівняння
Застосування
Розв'язок задачі про брахістохрону
Прикладом застосування тотожності Бельтрамі є задача про брахістохрону, яка полягає у знаходженні кривої , що мінімізує інтеграл
Підінтегральна функція
не залежить явно від змінної інтегрування , тому можна застосувати тотожність Бельтрамі
Підставивши і спростивши, отримаємо рівняння
з якого можна отримати параметричну форму розв'язку , ,
де — половина наведеної вище сталої, тобто , а — змінна. Це параметричні рівняння циклоїди.Цей розв'язок задачі про брахістохрону відповідає наведеному в
Розв'язок задачі про ланцюгову лінію
Розглянемо нитку з рівномірною густиною і довжиною , підвішену між двома точками однакової висоти, віддаленими одна від одної на відстань . За формулою для довжини дуги
де — геометрична форма нитки, а та — граничні умови.
Крива має мінімізувати свою потенціальну енергію
і водночас задовольняти умову
де — прискорення вільного падіння.
Оскільки незалежна змінна не входить до підінтегрального виразу, тотожність Бельтрамі можна використати для вираження форми нитки у вигляді диференціального рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
де — множник Лагранжа.
Це рівняння можна спростити до вигляду
Розв'язком цього рівняння є гіперболічний косинус, де — стала інтегрування
Три невідомі , та можна знайти, використовуючи обмеження для кінцевих точок нитки та довжину дуги , хоча отримати розв'язок у замкненій формі може бути достатньо проблематично.
Примітки
Джерела