У математиці класифікація Б'янкі надає список усіх дійсних тривимірних алгебр Лі ( аж до ізоморфізму). Класифікація містить 11 класів, 9 з яких містять одну алгебру Лі, а два з яких містять сімейство алгебр Лі розміром з континуум. (Іноді дві групи включаються до нескінченних сімейств, що дає 9 замість 11 класів).
Класифікація важлива в геометрії та фізиці, оскільки пов'язані групи Лі служать групами симетрії тривимірних ріманових многовидів. Вона названа на честь Луїджі Б'янкі, який розробив її в 1898 році.
Термін «класифікація Б'янкі» також використовується для подібних класифікацій в інших вимірах та для класифікацій комплексних алгебр Лі .
Класифікація за виміром менше 3
Розмірність 0: Єдина алгебра Лі — це абелева алгебра Лі R0. Вимірність 1: Єдина алгебра Лі — це абелева алгебра Лі R1, із зовнішньою групою автоморфізмів, тобто мультиплікативною групою ненульових дійсних чисел. Вимірність 2: Існує дві алгебри Лі: (1) Абелева алгебра Лі R2 із зовнішньою групою автоморфізмів GL2(R . (2) Розв'язна алгебра Лі верхньо-трикутних матриць розміру 2×2 сліду 0. Вона має тривіальний центр і тривіальну групу зовнішніх автоморфізмів. Асоційована односвязна група Лі є афінною групою прямої.
Класифікація у вимірі 3 Усі тривимірні алгебри Лі, окрім типів VIII та IX , можна побудувати як напівпрямий добуток R2 та R, де R діє на R2 деякою матрицею M розміром 2×2. Різні типи відповідають різним типам матриць M, як описано нижче.
Тип I: Це абелева та унімодулярна алгебра Лі R3. Однозв'язна група має центр R3 та зовнішню групу автоморфізмів GL3(R). Це випадок, коли M дорівнює 0. Тип II: Алгебра Гейзенберга, яка є нільпотентною та унімодулярною. Однозв'язна група має центр R та зовнішню групу автоморфізмів GL2(R). Це випадок, коли M є нільпотентною, але не дорівнює 0 (усі власні значення дорівнюють 0). Тип III: Ця алгебра є добутком R та 2-вимірної неабелевої алгебри Лі. Це граничний випадок типу VI, де одне власне значення стає нулем. Вона розв'язна та не унімодулярна. Однозв'язна група має центр R, а зовнішня група автоморфізмів — групу ненульових дійсних чисел. Матриця M має одне нульове та одне ненульове власне значення. Тип IV: Алгебра, породжена [y,z] = 0, [x,y] = y, [x, z] = y + z. Вона розв'язна та не унімодулярна. Однозв'язна група має тривіальний центр та зовнішню групу автоморфізмів, що є добутком дійсних чисел та групи порядку 2. Матриця M має два рівні ненульові власні значення, але не є діагоналізовною. Тип V: [y,z] = 0, [x,y] = y, [x, z] = z. Розв'язна та не унімодулярна. Граничний випадок типу VI, де обидва власні значення рівні. Однозв'язна група має тривіальний центр, а зовнішня група автоморфізмів — елементи GL2(R) з визначником +1 або −1. Матриця M має два рівні власні значення та є діагоналізованою. Тип VI: Нескінченна сім'я: напівпрямі добутки R2 на R, де матриця M має ненульові різні дійсні власні значення з ненульовою сумою. Алгебри є розв'язними та не унімодулярними. Однозв'язна група має тривіальний центр та групу зовнішніх автоморфізмів — добуток ненульових дійсних чисел та групи порядку 2. Тип VI0: Ця алгебра Лі є напівпрямим добутком R2 на R, де R є матрицею M, яка має ненульові різні дійсні власні значення з нульовою сумою. Вона є розв'язною та унімодулярною. Це алгебра Лі двовимірної групи Пуанкаре, групи ізометрій двовимірного простору Мінковського. Однозв'язна група має тривіальний центр та групу зовнішніх автоморфізмів, що є добутком додатних дійсних чисел з діедричною групою порядку 8. Тип VII: Нескінченна сім'я: напівпрямі добутки R2 на R, де матриця M має недійсні та неуявні власні значення. Розв'язна та не унімодулярна. Однозв'язна група має тривіальний центр, а зовнішня група автоморфізмів — ненульові дійсні числа. Тип VII0: Напівпрямий добуток R2 на R, де матриця M має ненульові уявні власні значення. Розв'язна та унімодулярна. Це алгебра Лі групи ізометрій площини. Однозв'язна група має центр Z та зовнішню групу автоморфізмів — добуток ненульових дійсних чисел та групи порядку 2. Тип VIII: Алгебра Лі sl2(R) безслідових матриць розміру 2×2, пов'язаних з групою SL2(R). Вона проста та унімодулярна. Однозв'язна група не є групою матриць; вона позначається як , має центр Z, а його зовнішня група автоморфізмів має порядок 2. Тип IX: Алгебра Лі ортогональної групи O3(R). Вона позначається як 𝖘𝖔(3) і є простою та унімодулярною. Відповідна однозв'язна група - SU(2). Вона має центр порядку 2 та тривіальну групу зовнішніх автоморфізмів, і є спіновою групою.
Класифікація тривимірних комплексних алгебр Лі має подібну структуру, за винятком того, що типи VIII і IX у цьому випадку стають ізоморфними, а типи VI і VII об’єднуються в одну родину алгебр Лі.
Відповідні зв’язані тривимірні групи Лі можна класифікувати через факторизацію відповідної однозв’язної групи Лі за її дискретною центральною підгрупою. Таким чином, класифікацію таких груп можна отримати безпосередньо з наведеної вище таблиці.
Ці групи пов'язані з 8 геометріями гіпотези геометризації Терстона. Точніше, сім із восьми геометрій можна реалізувати як лівоінваріантну метрику на односвязній групі (іноді кількома способами). Геометрію Терстона типу S2×R неможливо реалізувати таким чином.
Структурні сталі Тривимірні простори Б'янкі допускають набір із трьох векторних полів Кіллінга які підпорядковуються наступній властивості:
де , «структурні сталі» групи, утворюють константу тензора третього порядку, антисиметричну за двома нижніми індексами. Для будь-якого тривимірного простору Б'янкі, задається співвідношенням
де є символом Леві-Чівіта, — це дельта Кронекера, а вектор і діагональний тензор описані в наступній таблиці, де дає i -те власне значення ; параметр a проходить через усі додатні дійсні числа: Тип Б'янкікласприміткиграфічний (рис. 1)I0000Aописує евклідів простірна початкуII0100Aінтервал [0,1] уздовжIII101 -1Bпідвипадок типу VIa припроектується на четвертий квадрант площини a = 0IV1001Bвертикальна відкрита грань між першим і четвертим квадрантами площини a = 0V1000Bмає гіпер-псевдосферу як окремий випадокінтервал (0,1] уздовж осі aVI001 -10Aчетвертий квадрант горизонтальної площиниVIa01 -1Bпри еквівалентний типу III;проектується на четвертий квадрант площини a = 0;VII00110Aмає евклідів простір як окремий випадокперший квадрант горизонтальної площиниVIIa011Bмає гіпер-псевдосферу як окремий випадокпроектується на перший квадрант площини a = 0VIII011 -1Aшостий октантIX0111Aмає гіперсферу як окремий випадокдругий октант
Стандартну класифікацію Б'янкі можна отримати зі структурних констант у наступні шість кроків:
Внаслідок антисиметричності структурних констант існує дев’ять незалежних констант . Їх еквівалентно можна подати через дев’ять компонент довільної сталої матриці Cab: C де εabd — повністю антисиметричний тривимірний символ Леві-Чивіти (ε123 = 1). Підстановка цього виразу для у тотожність Якобі приводить до співвідношення Структурні константи перетворюються за законом Поява множника det A зумовлена тим, що символ εabd трансформується як тензорна густина: , де έmnd ≡ εmnd. За допомогою такого перетворення матрицю Cab завжди можна привести до вигляду: Після такого вибору залишається свобода подальших перетворень тріади, однак вони мають задовольняти обмеження and У цьому випадку тотожності Якобі накладають лише одне обмеження: Якщо n1 ≠ 0, то звідси випливає, що C23 – C32 = 0. Тоді за допомогою допустимих перетворень, для яких матрицю 2 × 2 , можна діагоналізувати у Cab. У результаті матриця набуває вигляду Діагональна форма матриці Cab зберігається при подальших перетвореннях із діагональною матрицею . Під дією таких перетворень параметри n1, n2, n3 змінюються відповідно до наступних співвідношеньЗа допомогою цих діагональних перетворень модуль будь-якого параметра na (якщо він відмінний від нуля) можна привести до одиниці. Враховуючи, що одночасна зміна знаків усіх na не створює нового випадку, отримуємо такі інваріантно різні набори чисел n1, n2, n3. Інваріантна відмінність означає, що не існує перетворення тріади яке дозволило б перейти від одного набору параметрів до іншого. Таким чином, отримуються різні типи однорідних просторів, для яких матриця Cab має діагональну форму: Розглянемо тепер випадок n1 = 0. У цьому випадку також може виконуватися умова C23 – C32 = 0. Тоді ми повертаємося до ситуації, розглянутої на попередньому етапі, але з додатковою умовою n1 = 0. У цьому випадку всі суттєво різні набори параметрів n1, n2, n3 мають вигляд (0, 1, 1), (0, 1, −1), (0, 0, 1) та (0, 0, 0). Перші три з них повторюють уже розглянуті типи VII0, VI0 та II відповідно. Отже, виникає лише один новий тип: Останнім випадком є n1 = 0 та C23 – C32 ≠ 0 цьому випадку матриця 2 × 2 є несиметричною і не може бути приведена до діагонального вигляду за допомогою перетворень із ненульовими . Проте її симетричну частину можна діагоналізувати. Тому повна 3 × 3 атриця Cab може бути зведена до форми: де a є довільним параметром. Після цього все ще залишається можливість виконувати перетворення з діагональною матрицею . За таких перетворень параметри n2, n3 та a змінюються відповідно:
Із цих співвідношень випливає, що для ненульових n2, n3, a величина a2(n2n3)−1 є інваріантом перетворень. Вибором параметра можна встановити умову a > 0. Після цього вибір знака відношення дозволяє одночасно змінити знаки n2 та n3. Отже, набори (n2 , n3) та (−n2,−n3) є еквівалентними. Таким чином, залишаються чотири різні можливі випадки:Для перших двох випадків параметр (a) можна привести до одиниці шляхом відповідного вибору параметрів and . Для двох останніх випадків ці параметри вже є фіксованими, тому a залишається інваріантним довільним додатним параметром. Історично ці чотири типи однорідних просторів були класифіковані як: Тип III є окремим випадком типу VI при (a = 1). Типи VII та VI містять нескінченну кількість інваріантно різних алгебр Лі, що зумовлено довільністю неперервного параметра a. Тип VII0 є окремим випадком типу VII, який відповідає (a = 0), тоді як тип VI0 є окремим випадком типу VI також при (a = 0).
Кривизна просторів Б'янкі Простори Б'янкі мають властивість, що їхні тензори Річчі можна розділити на добуток базисних векторів, пов'язаних з простором, та тензор, незалежний від координат.
Для заданої метрики :
(де є 1-формами ), тензор кривини Річчі задається:
де індекси структурних констант підвищуються та знижуються за допомогою що не є функцією .
Космологічне застосування У космології ця класифікація використовується для однорідного простору-часу розмірності 3+1. Тривимірна група Лі є групою симетрії тривимірного просторовоподібного зрізу, а метрика Лоренца, що задовольняє рівняння Ейнштейна, генерується шляхом зміни компонентів метрики як функції t. Метрики Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера є ізотропними, що є окремими випадками типів I, V, та IX.
Моделі типу Б'янкі I включають метрику Каснера як окремий випадок. Космології типу Bianchi IX включають метрику Тауба. Однак динаміка поблизу сингулярності приблизно визначається серією послідовних періодів Каснера (Б'янкі I). Складна динаміка, яка по суті зводиться до руху більярда в частині гіперболічного простору, демонструє хаотичну поведінку та називається Mixmaster; її аналіз називається BKL-аналізом на честь Белінського, Халатнікова та Ліфшиця. У новіших роботах було встановлено зв'язок теорій (супер)гравітації поблизу просторовоподібної сингулярності (BKL-границі) з лоренцевими алгебрами Каца-Муді, групами Вейля та гіперболічними групами Коксетера. Інші новіші роботи стосуються дискретної природи відображення Каснера та неперервного узагальнення У просторі, який є одночасно однорідним та ізотропним, метрика визначається повністю, залишаючи вільним лише знак кривини. Припущення лише однорідності простору без додаткової симетрії, такої як ізотропія, залишає значно більше свободи у виборі метрики. Наступне стосується просторової частини метрики в заданий момент часу t, припускаючи синхронну систему відліку, так що t — це той самий синхронізований час для всього простору.