Сталі Оорта — емпірично отримані параметри, відкриті Яном Оортом, що характеризують локальні обертальні властивості нашої галактики, Чумацького Шляху, наступним чином:
Тут і — швидкість обертання та відстань до галактичного центру відповідно, виміряні в положенні Сонця, а і — швидкості та відстані в інших точках Галактики. Під швидкістю обертання мають на увазі середню швидкість зір у напрямку обертання навколо центра Галактики, яка відрізняється від швидкості окремої зорі або Сонця. Як показано нижче, і залежать лише від рухів і положень зір у сонячній околиці. Станом на 2018 рік найточнішими оцінками цих сталих є і .
Історичне значення та передумови
До 1920-х років значна частина астрономічної спільноти вже визнала, що деякі дифузні, хмароподібні об'єкти, або туманності, спостережувані на нічному небі, є скупченнями зір, розташованими за межами нашої власної зоряної системи. Ці «галактики» мають різноманітну морфологію — від еліпсоїдної до дископодібної. Концентрована смуга зоряного світла, видима як Чумацький Шлях, свідчила про те, що наша Галактика теж має форму диска. Однак наше розташування всередині неї ускладнювало визначення її структури за спостереженнями.
Класична механіка передбачає, що скупчення зір може утримуватися від гравітаційного колапсу або завдяки випадковим швидкостям зір, або завдяки їхньому обертанню навколо центра масpp. 312—321, § 4.4, Galactic dynamics (2nd edition), James Binney, Scott Tremaine, Princeton University Press, 2008, .. Для дископодібної системи головним механізмом підтримки має бути саме обертання. Залежно від густини маси або її розподілу в диску швидкість обертання може бути різною на різних відстанях від центра диска до його зовнішнього краю. Графік залежності швидкості обертання від радіуса називають кривою обертання. Для інших дискових галактик окрім Чумацького Шляху криву обертання можна визначити за доплерівським зсувом спектральних ліній, виміряним на різних галактичних радіусах, оскільки один бік галактики рухається у напрямку до спостерігача, а інший — від нього. Проте наше розташування в серединній площині Чумацького Шляху, де пил у молекулярних хмарах поглинає більшу частину оптичного випромінювання в багатьох напрямках, робило побудову кривої обертання нашої Галактики технічно складною задачею до відкриття радіолінії водню 21 см у 1930-х роках.
Щоб підтвердити обертання нашої Галактики ще до цього відкриття, 1927 року Ян Оорт розробив метод, який використовував лише невелику вибірку зір із найближчих околиць Сонця. Як показано нижче, знайдені ним значення і довели не лише те, що Галактика обертається, а й те, що її обертання є диференціальним, тобто відбувається з різними кутовими швидкостями на різних радіусах.
Виведення
Розглянемо зорю в серединній площині галактичного диска з галактичною довготою , що перебуває на відстані від Сонця. Припустимо, що і зоря, і Сонце рухаються коловими орбітами навколо центра Галактики на відстанях і від галактичного центра відповідно, зі швидкостями обертання і . Тоді рух зорі вздовж променя зору, або променева швидкість, і рух зорі в площині неба, або тангенціальна швидкість, спостережувані із Сонця, дорівнюють:
За припущення колового руху швидкість обертання пов'язана з кутовою швидкістю співвідношенням , яке можна підставити у вирази для швидкостей:
Із геометрії, наведеної на рисунку 1, видно, що трикутники, утворені галактичним центром, Сонцем і зорею, мають спільні сторони або їхні частини. Тому справджуються такі співвідношення:
Звідси отримуємо:
Щоб виразити ці співвідношення лише через відомі величини і , розкладемо у ряд Тейлора поблизу точки :
Крім того, скористаємося припущенням, що зорі, використані в цьому аналізі, є локальними, тобто є малою величиною, а відстань до зорі набагато менша за або . Тоді можна записати:
.
Отже,
Використовуючи формули половинного кута для синуса й косинуса, ці вирази можна переписати у вигляді:
Записавши швидкості через відомі величини та два коефіцієнти і , дістанемо:
де
На цьому етапі спостережувані швидкості пов'язані з цими коефіцієнтами та положенням зорі. Тепер можна пов'язати ці коефіцієнти з характеристиками обертання Галактики. Для зорі на коловій орбіті похідну кутової швидкості за радіусом можна виразити через швидкість обертання та радіус, а потім обчислити її в положенні Сонця.
тому
— це стала Оорта, що характеризує зсувний рух, а — стала Оорта, яка характеризує обертання Галактики. Як показано нижче, величини і можна визначити, побудувавши залежність цих швидкостей, виміряних для великої кількості зір, від їхніх галактичних довгот.
Вимірювання
Як було показано на одному з проміжних етапів виведення,
Тому сталі Оорта і можна записати у вигляді:
Отже, сталі Оорта можна виразити через радіальні та тангенціальні швидкості, відстані й галактичні довготи об'єктів нашої Галактики — величини, які, принаймні принципово, можна спостерігати.
Однак на практиці виникає низка ускладнень. Наведене вище просте виведення ґрунтується на припущенні, що і Сонце, і досліджуваний об'єкт рухаються коловими орбітами навколо центра Галактики. Це не виконується для Сонця (швидкість Сонця відносно місцевого стандарту спокою становить приблизно 13,4 км/с) і не обов'язково виконується для інших об'єктів Чумацького Шляху. Крім того, виведення неявно припускає, що гравітаційний потенціал Чумацького Шляху осесиметричний і завжди спрямований до центра. Це не враховує впливу спіральних рукавів і бара Галактики. Нарешті, як тангенціальну швидкість, так і відстань надзвичайно важко виміряти для об'єктів, що не перебувають поблизу Сонця.
Оскільки неколова складова швидкості Сонця відома, її можна відняти від спостережуваних значень, щоб компенсувати її вплив. Проте неколові складові швидкостей окремих зір невідомі, тому виконати таку саму поправку для них неможливо. Утім, якщо побудувати графік залежності тангенціальної швидкості, поділеної на відстань, від галактичної довготи для великої вибірки зір, то, як випливає з наведених вище рівнянь, точки мають лягати на синусоїду. Неколові швидкості спричинять розсіювання точок навколо цієї кривої, але за достатньо великої вибірки можна апроксимувати істинну залежність і визначити значення сталих Оорта, як показано на рисунку 2. При цьому дорівнює амплітуді синусоїди, а — її вертикальному зміщенню відносно нуля. Проте точне й незміщене вимірювання тангенціальних швидкостей і відстаней залишається складним завданням, тому різні визначення величин і часто не узгоджуються між собою.
Більшість методів визначення і принципово подібні й ґрунтуються на описаному вище підході. Основні відмінності полягають у виборі об'єктів, які використовують для аналізу, а також у способах вимірювання відстаней або власних рухів. У своїй першій статті 1927 року, де він ввів ці сталі, Оорт отримав значення . Значення він явно не визначав, але з його висновку про те, що Галактика обертається майже за кеплерівським законом (як у прикладі 2 нижче), можна припустити, що він отримав би значення близько . Ці оцінки істотно відрізняються від сучасних, що свідчить про складність вимірювання цих сталих. Відтоді визначені значення і суттєво різнилися; у 1964 році МАС ухвалив як стандартні значення і . Хоча новіші вимірювання також демонструють певний розкид, більшість із них лежить поблизу цих значень.
Супутник Hipparcos, запущений 1989 року, став першою космічною астрометричною місією. Його високоточні вимірювання паралаксів і власних рухів дали змогу значно точніше визначити сталі Оорта. 1997 року на основі даних Hipparcos отримали значення і . Космічна місія Gaia, запущена 2013 року, стала наступницею Hipparcos і забезпечила ще вищу точність вимірювання чотирьох сталих Оорта: , , і .
Використовуючи значення, отримані місією Gaia, знаходимо
Це значення відповідає періоду обертання близько 226 мільйонів років для околиць сучасного положення Сонця навколо Чумацького Шляху. Однак час, за який саме Сонце здійснює повний оберт навколо Галактики (тобто галактичний рік), може бути довшим, оскільки (у простій моделі) воно рухається навколо точки, розташованої далі від галактичного центра, де є меншою.
Значення в км с−1 кпк−1 можна перетворити на мілісекунди дуги на рік, поділивши їх на 4,740. Це дає наведені нижче значення середнього власного руху зір у нашій околиці для різних галактичних довгот після врахування впливу швидкості Сонця відносно місцевого стандарту спокою:
Галактична довгота Сузір'я Середній власний рух мс/рік Приблизний напрямок 0° Стрілець B+A 0.7 північний схід 45° Орел B 2.5 південний захід 90° Лебідь B−A 5.7 захід 135° Кассіопея B 2.5 захід 180° Візничий B+A 0.7 південний схід 225° Єдиноріг B 2.5 північний захід 270° Вітрила B−A 5.7 захід 315° Центавр B 2.5 захід
Рух Сонця у напрямку апекса Сонця в сузір'ї Геркулеса додає загалом західну складову до спостережуваних власних рухів зір у районі сузір'їв Вітрил і Центавра та загалом східну складову для зір у районі Лебедя й Кассіопеї. Цей ефект слабшає зі збільшенням відстані, тому наведені в таблиці значення краще описують віддаленіші зорі. Водночас дуже далекі зорі та інші об'єкти вже не підкоряються цій закономірності, оскільки таблиця стосується лише об'єктів у сонячній околиці. Наприклад, Стрілець A*, радіоджерело в центрі Галактики, матиме власний рух приблизно , або 5,7 мс/рік (приблизно 1,6° за мільйон років), у південно-західному напрямку (з невеликою поправкою через рух Сонця до апекса), хоча він розташований у сузір'ї Стрільця. Такі власні рухи не можна вимірювати відносно «фонових зір», оскільки вони мають подібні власні рухи; натомість їх визначають відносно практично нерухомих опорних об'єктів, таких як квазари.
Значення
Сталі Оорта дають змогу глибше зрозуміти обертання Галактики. Як видно, і залежать як від орбітальної швидкості Сонця, так і від першої похідної цієї швидкості. Відповідно, описує зсувний рух у диску поблизу Сонця, тоді як характеризує градієнт моменту імпульсу в околі Сонця, який також називають завихреністю.
Щоб краще зрозуміти це, розгляньмо три приклади, які описують орбітальний рух зір і газу в Галактиці й дають уявлення про значення і . Це твердотільне обертання (зі сталою кутовою швидкістю), кеплерівське обертання та обертання зі сталою лінійною швидкістю (плоска крива обертання). Ці три типи обертання подано як функцію радіуса () і зображено на рисунку 3 зеленою, синьою та червоною кривими відповідно. Сіра крива приблизно відповідає кривій обертання Чумацького Шляху.
Твердотільне обертання Спочатку припустімо, що обертання Чумацького Шляху можна описати як обертання твердого тіла, як показано зеленою кривою на рисунку 3. Обертання твердого тіла означає, що вся система рухається як єдине жорстке тіло без диференціального обертання. У такому разі кутова швидкість є сталою і не залежить від . Звідси випливає, що швидкість лінійно зростає з радіусом, , тобто
Скориставшись двома співвідношеннями для сталих Оорта, визначаємо значення і :
Це показує, що для твердотільного обертання відсутній зсувний рух, тобто , а завихреність дорівнює кутовій швидкості обертання, . Такий результат очікуваний, адже зі збільшенням радіуса орбітальна швидкість не змінюється відносно сусідніх кілець, тому між ними не виникає зсуву. Крім того, у цьому випадку вся система обертається лише навколо центра, тож завихреність визначається саме цим обертанням. Спостереження, однак, показують, що не дорівнює нулю ( км с−1 кпк−1). Отже, в околі Сонця Галактика не обертається твердотільно, хоча така поведінка можлива у внутрішній її частині.
Кеплерівське обертання Другий показовий приклад — припустити, що орбіти в околі Сонця підпорядковуються законам Кеплера, як показано синьою кривою на рисунку 3. У цьому випадку орбітальний рух описує вираз
де — гравітаційна стала, а — маса, зосереджена всередині радіуса . Похідна швидкості за радіусом дорівнює
Тоді сталі Оорта мають вигляд