Диск Кузміна або модель Кузміна — проста аналітична модель для опису гравітаційних потенціалів тонких дисків. Гравітаційний потенціал задається виразом
де і — циліндричні координати, а і — константи. Цьому потенціалу відповідає поверхнева густина нескінченно тонкого диска
Ця модель не здатна точно описувати потенціали реальних астрофізичних дисків, однак іноді її можна використовувати як перше наближення. Також вона популярна за свою простоту й часто входить у підручники з зоряної динаміки для ілюстрації гравітаційних потенціалів галактичних дисків.
Історія Модель вперше запропонував 1956 року естонський і радянський астроном Григорій Кузмін. 1963 року її незалежно перевідкрив американський астроном естонського походження Алар Тоомре як частину загальнішого сімейства пар гравітаційних потенціалів і густин, тому вона відома також як «модель Тоомре 1».
Гравітаційний потенціал Гравітаційний потенціал у моделі Кузміна задається таким виразом
де — параметр моделі. Цей потенціал осесиметричний (бо не залежить від кутової координати) та симетричний відносно площини . Він нагадує потенціал точкової маси
Для потенціал Кузміна еквівалентний потенціалу точкової маси, розташованої в точці , а для він еквівалентний потенціалу точкової маси, розташованої в точці .
Поверхнева густина Оскільки і в півпросторі , і в півпросторі потенціал Кузміна збігається з потенціалом точкової маси, розташованої в іншому півпросторі, то в обох півпросторах він відповідає нульовій густині. Строго це можна показати з рівняння Пуассона для гравітаційного поля, в якому потенціал точкової маси дає нульовий лапласіан. Втім на поверхні завдяки розриву похідної функції лапласіан потенціалу виявляється нескінченним, що відповідає нескінченній об'ємній густині (але скінченній поверхневій густині).
Поверхневу густину диска найпростіше знайти, скориставшись теоремою Гаусса для гравітації. Розглянувши циліндр з дуже малою висотою, який має основи на висотах і і таким чином містить в собі частину диска, отримуємо
Для потенціалу Кузміна це рівняння дає
Крива обертання Криву обертання в площині можна обчислити, прирівнявши прискорення сили тяжіння до відцентрового прискорення :
Звідси
Підстановка потенціалу Кузміна дає таку криву обертання:
Примітки
Література
Посилання Bovy J., Razor-thin disk: The Kuzmin model, Dynamics and Astrophysics of Galaxies