У геометрії орбіфолдна нотація (або орбіфолдна сигнатура) — система, яку винайшов математик Вільям Терстон та просував Джон Конвей, для подання типів груп симетрії у двовимірних просторах постійної кривини. Її перевага в тому, що опис цих груп включає багато їхніх властивостей: зокрема, вона наслідує Вільяма Терстона в описі орбівиду, отриманого взяттям фактора евклідового простору за групою, що розглядається.

До груп, які можна подати в цій нотації, належать точкові групи на сфері (), групи бордюру та групи шпалер на евклідовій площині (), та їх аналоги на гіперболічній площині ().

Визначення нотації У групі, що описується орбіфолдною нотацією, можуть виникати такі типи евклідового перетворення:

відбиття відносно прямої (або площини) перенесення на вектор поворот скінченного порядку навколо точки нескінченне обертання навколо прямої в тривимірному просторі ковзне відбиття, тобто відбиття з подальшим перенесенням.

Вважають, що всі переміщення, які відбуваються, утворюють дискретну підгрупу описуваних групових симетрій.

В орбіфолдній нотації кожну групу позначають скінченним рядком, складеним із таких символів:

додатні цілі числа символ нескінченності, зірочка, * символ o (круг у старих документах), який називають чудом (), а також ручкою, оскільки він топологічно представляє замкнену поверхню тора (1-ручка). Візерунки повторюються після двох переносів. символ (коло у старих документах), яке називають дивом (), являє собою топологічний схрещений ковпак, де візерунок повторюється як дзеркальне відображення, не перетинаючи лінію дзеркала.

Рядок, написаний жирним шрифтом, представляє групу симетрій евклідового 3-вимірного простору. Рядок, що не виділений жирним шрифтом, представляє групу симетрій евклідової площини, яка вважається такою, що містить два незалежні перенесення.

Кожен символ відповідає окремому перетворенню:

Ціле число n ліворуч від зірочки вказує на обертання порядку n навколо точки обертання () Зірочка * позначає відбиття Ціле число n праворуч від зірочки вказує на перетворення порядку 2n — обертання навколо калейдоскопічної точки та відбиття відносно прямою (або площини) один вказує на ковзне відбиття символ вказує на нескінченну обертову симетрію відносно прямої; це трапляється лише для груп граней, виділених жирним шрифтом. Дещо вільно вживаючи термін, можна сказати, що така група є підгрупою групи симетрій евклідової площини лише з одним незалежним перенесенням. Так виникають групи бордюру. Винятковий символ o вказує на те, що існують рівно два лінійно незалежні перенесення.

Хороші орбіфолди Орбіфолдний символ називається хорошим, якщо він не є одним із таких: p, pq, *p, *pq, для p, q ≥ 2 та p ≠ q.

Хіральність та ахіральність Об'єкт називається хіральним, якщо його група симетрії не містить відбиттів; інакше його називають ахіральним. У хіральному випадку відповідний орбівид є орієнтованим, в інших випадках — неорієнтованим.

Ейлерова характеристика та порядок Ейлерову характеристику орбівиду можна прочитати з його символу Конвея в такий спосіб. Кожен елемент має певне значення:

n без зірочки або перед нею рахується як n після зірочки рахується як зірочка та рахується як 1 o рахується як 2.

Віднімання суми цих значень від 2 дає характеристику Ейлера.

Якщо сума значень ознак дорівнює 2, порядок нескінченний, тобто позначення представляє групу орнаменту або групу бордюру. Дійсно, «магічна теорема» Конвея вказує на те, що 17 груп шпалер — це саме ті, в яких сума значень ознак дорівнює 2. В іншому випадку порядок дорівнює частці від ділення 2 на характеристику Ейлера.

Рівні групи Такі групи є ізоморфними:

1* та *11 22 та 221 *22 та *221 2* та 2*1.

Це тому, що одноразове обертання є «порожнім» обертанням.

Двовимірні групи

Симетрію двовимірного об'єкта без трансляційної симетрії можна описати тривимірним типом симетрії, додавши до об'єкта третій вимір, який не додає і не порушує симетрії. Наприклад, для двовимірного зображення можна розглянути шматок картону, на одному боці якого розміщено це зображення; форма шматка має бути такою, щоб не порушувати симетрію, або ж його можна уявити нескінченним. Таким чином, маємо n• та *n•. Маркер (•) додається до одно- та двовимірних груп, щоб позначити існування нерухомої точки. (У тривимірному просторі ці групи існують у двокутному орбіфолді з n-кратною симетрією і позначаються як nn та *nn.)

Аналогічно, одновимірне зображення можна намалювати горизонтально на шматку картону, з урахуванням можливості уникнення додаткової симетрії відносно лінії зображення, наприклад, намалювавши під зображенням горизонтальну смугу. Таким чином, дискретні  — це *•, *1•, ∞• та *∞•.

Інший спосіб побудови тривимірного об'єкта з одно- або двовимірного об'єкта для опису симетрії — використання декартового добутку об'єкта та асиметричного дво- або одновимірного об'єкта відповідно.

Таблиці відповідності

Сферичні +Фундаментальні області відбивних тривимірних точкових груп (*11), C1v = Cs (*22), C2v (*33), C3v (*44), C4v (*55), C5v (*66), C6v Порядок 2 Порядок 4 Порядок 6 Порядок 8 Порядок 10 Порядок 12(*221), D1h = C2v(*222), D2h(*223), D3h(*224), D4h(*225), D5h(*226), D6h Порядок 4 Порядок 8 Порядок 12 Порядок 16 Порядок 20 Порядок 24 (*332), Т д (*432), О год (*532), 1 год. Порядок 24 Порядок 48 Порядок 120 +Сферичні групи симетріїОрбіфолдне позначенняКоксетерШенфлісПорядокPolyhedral groups*532[3,5]Ih53m120532[3,5]+I53260*432[3,4]Ohm3m48432[3,4]+O43224*332[3,3]Td3m243*2[3+,4]Thm324332[3,3]+T2312Діедральні та циклічні групи: n = 3, 4, 5 …*22n[2,n]Dnhn/mmm або 2m24n2*n[2+,2n]Dnd22m або m4n22n[2,n]+Dnn22n*nn[n]Cnvnm2nn*[n+,2]Cnhn/m або 22nn×[2+,2n+]S2n2 або 2nnn[n]+CnnnОсобливі випадки*222[2,2]D2h2/mmm або 2m282*2[2+,4]D2d22m або m8222[2,2]+D2224*22C2v2m42*[2+,2]C2h2/m або 242×[2+,4+]S42 або 422+C222*22[1,2]D1h = C2v1/mmm або 2m242*[2+,2]D1d = C2h22m або m422[1,2]+D1 = C2122*1[ ]C1v = Cs1m21*[2,1+]C1h = Cs1/m або 221×[2+,2+]S2 = Ci2 або 21[ ]+C111

Евклідова площина

Групи бордюру

Групи орнаменту +Фундаментальні області евклідових рефлективних груп (*442), p4m (4*2), p4g (*333), p3m (632), с. 6 +17 груп орнаментуОрбіфолдне позначенняКоксетерНіггліПояҐуґґенгаймКедвелJames Henry Cadwell*632[6,3]p6mC(I)6vD6W16632[6,3]+p6C(I)6C6W6*442[4,4]p4mC(I)4D*4W144*2[4+,4]p4gCII4vDo4W24442[4,4]+p4C(I)4C4W4*333[3]p3m1CII3vD*3W133*3[3+,6]p31mCI3vDo3W23333[3]+p3CI3C3W3*2222[∞,2,∞]pmmCI2vD2kkkkW222*22[∞,2+,∞]cmmCIV2vD2kgkgW1222*[(∞,2)+,∞]pmgCIII2vD2kkggW3222×[∞+,2+,∞+]pggCII2vD2ggggW422222[∞,2,∞]+p2C(I)2C2W2**[∞+,2,∞]pmCIsD1kkW21*×[∞+,2+,∞]cmCIIIsD1kgW11××[∞+,(2,∞)+]pgCII2D1ggW31o[∞+,2,∞+]p1C(I)1C1W1

Гіперболічна площина +Модель Пуанкаре фундаментальних доменних Приклад прямокутних трикутників (*2pq)*238*239*23∞*247*248*∞42*256*257*2∞∞Приклад довільних трикутників (*pqr)*335*336*337*3∞∞*63Приклад многокутників із більшою кількістю сторін (*pqrs…)*(24)2*44*222∞*(2∞)2 Перші кілька гіперболічних груп, упорядкованих за їхньою ейлеровою характеристикою: +Гіперболічні групи симетрії−1/χОрбіфолднаКоксетер84*237[7,3]48*238[8,3]42237[7,3]+40*245[5,4]36–26.4*239, *2 3 10[9,3], [10,3]26.4*2 3 11[11,3]24*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+22.3–21*2 3 13, *2 3 14[13,3], [14,3]20*2 3 15, *255, 5*2, 245[15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+19.2*2 3 16[16,3]*247[7,4]18*2 3 18, 239[18,3], [9,3]+17.5–16.2*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]16*2 3 24, *248[24,3], [8,4]15*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+–*2 3 36 … *2 3 70, *249, *2 4 10[36,3] … [60,3], [9,4], [10,4]*2 3 66, 2 3 11[66,3], [11,3]+*2 3 105, *257[105,3], [7,5]*2 3 132, *2 4 11 …[132,3], [11,4], …12*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334[∞,3] [12,4], [6,6], [6+,4], [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], [∞,3,∞], [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+…

Примітки

Джерела John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001. J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002. J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008,

Посилання Польовий довідник з орбіфолдів (Нотатки з заняття на тему «Геометрія та уява» в Міннеаполісі, з Джоном Конвеєм, Пітером Дойлом, Джейн Гілман та Біллом Терстоном, 17–28 червня 1991 року. Див. також PDF, 2006) Програмне забезпечення Tegula для візуалізації двовимірних замощень площини, сфери та гіперболічної площини, а також редагування їхніх груп симетрії в орбіфолдній нотації