Повітряна маса — міра кількості повітря на промені зору при спостереженні небесного тіла крізь атмосферу Землі. Застосовується для розрахунку втрати сили світла та світності в астрономії та актинометрії.

Виражається як інтеграл густини повітря вздовж променя зору:

У міру проникнення в атмосферу світло послаблюється через розсіювання та поглинання; що товщий шар повітря, крізь який воно проходить, то більше послаблення. Отже, небесні світила ближче до горизонту здаються менш яскравими, ніж ближче до зеніту. Це послаблення, відоме як атмосферна екстинкція, кількісно описується законом Бугера — Ламберта — Бера. Абсолютна повітряна маса, визначена за наведеною вище формулою, має розмірність поверхневої густини (кількість одиниць маси на одиницю площі, наприклад, г/см2 або кг/м2). Абсолютна повітряна маса в зеніті, виміряна в нерухомій атмосфері, дорівнює атмосферному тиску, поділеному на прискорення вільного падіння (якщо знехтувати зміною прискорення вільного падіння з висотою в атмосфері): Для стандартної атмосфери на рівні моря на широті 45° абсолютна зенітна повітряна маса дорівнює .

Термін «повітряна маса» зазвичай означає відносну повітряну масу — відношення абсолютної повітряної маси (визначеної як зазначено вище) у разі похилого падіння до абсолютної повітряної маси в зеніті:

де  — зенітний кут (кут між напрямком на джерело та напрямком на зеніт із точки спостереження). У цьому визначенні повітряна маса є безрозмірнісною величиною. За визначенням, відносна повітряна маса в зеніті дорівнює одиниці: . Повітряна маса збільшується в міру збільшення зенітного кута, досягаючи значення приблизно 38 на горизонті (тобто за ). Скінченне значення повітряної маси на горизонті виникає лише з урахуванням сферичності атмосфери; плоскопаралельна (менш реалістична) модель атмосфери дає значення повітряної маси що прямує до нескінченності за , хоча й цілком коректно описує залежність повітряної маси від зенітного кута за .

Повітряна маса вище рівня моря може бути меншою за одиницю; однак більшість наближених формул для повітряної маси не враховують впливу висоти спостерігача, тому коригування зазвичай доводиться виконувати іншими способами.

Нижче подеколи використано термін «атмосфера» як одиницю повітряної маси (одна «атмосфера» дорівнює абсолютній зенітній повітряній масі, або , і не стосується однойменної одиниці тиску).

Наближення в розрахунку повітряної маси

У розрахунку повітряної маси існує кілька наближень. Перше наближення майже ідеально розраховує повітряну масу для висот світил від 90° до 30° і задовільно — від 30° до 10—15° над горизонтом. Воно найпростіше: використовують модель плоскопаралельної нескінченної атмосфери з постійною густиною та скінченною висотою, що дорівнює 1, а кількість повітряних мас визначають обчисленням секанса зенітної відстані :

Друге наближення: використовують модель сферичної ізотермічної атмосфери з постійною густиною та скінченною висотою. Ця корекція особливо важлива в межах 10—15° від горизонту, де за першим наближенням швидко накопичується похибка, і на горизонті атмосферна маса прямує до нескінченності (див. другий графік і таблицю з розрахунковими даними).

Формула Ламберта для другого наближення:

де  — радіус Землі, км,  — висота однорідної атмосфери, км

Третє наближення додає викривлення та подовження шляху світлового променя через рефракцію в атмосфері; відіграє роль для висоти світила від 0° до 5—10° від горизонту.

Формула Лапласа у спрощеному напівемпіричному вигляді для третього наближення:

 — у викладі та Азельйо Бемпорада: = Refr./(58,36′′ · sin ),  — за І. А. Бєлановським: .  — за Г. В. Розенбергом: ,

де: Refr — показник рефракції в секундах, узятий із теорії від 1838 року;  — кут астрономічної рефракції; 58,36′′ — середнє значення сталої рефракції;  — показник заломлення повітря на рівні моря; .

Четверте наближення враховує температуру повітря. Зі зниженням температури повітряна маса зростає. Четверте наближення розглядає багатошарову атмосферу й зважає не лише на сезонні та погодні приземні коливання, а й на зміну температури з висотою. Воно доцільне для висот від 0° до 5° над горизонтом.

П'яте наближення вносить поправку на зміну атмосферного тиску. Зниження тиску з висотою може суттєво зменшити повітряну масу на великій висоті. На рівні моря та на звичайних середніх висотах суходолу вплив погодних коливань атмосферного тиску є малим навіть на горизонті.

Перехід від одного наближення до іншого, теоретично, мав би давати дедалі точніший результат. Але це не завжди так, оскільки в послідовно складніших розрахунках з'являється багато нових чинників, що залежать від рівня знань про атмосферу, і вибір яких може значно змінити кінцеві числа. Наприклад, формула Ламберта для другого наближення може давати правильніші результати, що майже збігаються з четвертим наближенням Бемпорада, ніж розрахунок для третього наближення Лапласа.

Але навіть за абсолютного знання раз і назавжди розрахувати точну повітряну масу для кожного кута неможливо, оскільки врахування всіх мінливих атмосферних умов і вибір довжини хвилі світла завжди вносить певний розкид у кінцеві результати, що біля горизонту сягає кількох одиниць атмосфер. Однак можна отримати числа, наближені до реальних значень в усереднених умовах.

На горизонті, де спостерігають найбільші розбіжності за різними наближеннями, на рівні моря можливі такі величини атмосферної маси:  — перше наближення: нескінченне значення;  — друге наближення: 35,5 за Бугером, 35,5 і 39,9 атмосфери за Ламбертом залежно від введених у формули даних, однак сучасні розрахунки для реалістичнішої моделі повітряної оболонки Землі без урахування рефракції дають 32 атмосфери;  — третє наближення: 35,5 і 44 атмосфери за Лапласом;  — четверте наближення: 35—42 атмосфери за різних моделей атмосфери, а на один градус вище від горизонту за можливих приземних температур від +60 до −60 °C різниця становить 5 атмосфер. В Антарктиді іноді спостерігають нижчі температури, але це буває лише в глибині материка на висоті 3—4 км.

Вважають, що для розрахунків в астрономії та актинометрії достатньо першого і другого наближень (модель сферичної атмосфери за Ламбертом, див. таблицю), застосування третього вже надлишкове, а врахування решти чинників становить переважно теоретичний інтерес. Річ у тім, що астрономічні спостереження та фотометрія до 15° від горизонту є проблематичними й малоефективними, а освітленість від невисокого ранкового та вечірнього Сонця більше залежить від наявності аерозолів і водяної пари в неідеальній атмосфері, ніж від коливань температури й тиску.

Історія розрахунків повітряної маси Першим розрахунок повітряних мас у другому наближенні, тобто з урахуванням кривини Землі та атмосфери, здійснив у першій половині XVIII століття родоначальник теорії поглинання світла П'єр Бугер, і його обчислення були досить близькими до сучасних. Він також вказав на можливість застосування третього наближення (викривлення променя в атмосфері), але вважав, що здебільшого для розрахунків це не обов'язково.

Згодом формули для розрахунку в другому і в третьому наближенні вивели в другій половині XVIII століття Ламберт і на початку XIX століття Лаплас.

Наприкінці XIX століття німецький астроном запропонував визначати повітряну масу суто практично за зміною яскравості зір унаслідок поглинання світла в атмосфері залежно від висоти над горизонтом. Попри позірну очевидність цього методу, він усе ж дає лише наблжені значення. Він не враховує, по-перше, вплив нерівномірного розподілу аерозолів на зниження яскравості світил, а по-друге, дію рефракції та зниження температури з висотою, що збільшують довжину шляху світла якраз у майже вільних від аерозолів верхніх шарах атмосфери. Результати виходять на середніх кутах дещо завищені, а ближче до горизонту, де повною мірою діє рефракція — занижені (див. таблицю нижче). На останніх двох градусах метод узагалі не працює: зорі губляться в серпанку і стають невидимими. Та все ж метод є корисним для практичної астрономії, оскільки дає змогу без додаткових розрахунків оцінити видимість зір за гарних умов спостереження.

Наступним після Лапласа великий внесок у теорію зробив італійський учений Азельйо Бемпорад. У 1904 році він опублікував формули з урахуванням кривини Землі, атмосферної рефракції та зниження температури з висотою. Без комп'ютера й калькулятора серпанкувін розрахував і склав дуже докладну таблицю повітряних мас із точністю до третього знака після коми для висот Сонця з деталізацією до градусів і мінут в атмосфері з параметрами середньоєвропейської широти 45° для температури 0 °C і найкраще видимої довжини хвилі 550 нм, а також розрахував безліч поправкових коефіцієнтів для різних приземних температур і тисків. Ці значення тривалий час слугували еталоном для астрофізичних та актинометричних розрахунків, але згодом їх неодноразово переглядали, оскільки вони ґрунтувалися на відомих тоді параметрах атмосфери лише до висоти 10 км, а решту атмосфери Бемпорад екстраполював, вважаючи, що її температура так і продовжує падати з висотою аж до космосу. Стратосферу та зростання температури з висотою тоді ще не відкрили.

Згодом формули й таблиці повітряних мас опублікували багато авторів. Також створено чимало інтерполяційних формул, які «підганяють» залежність атмосферної маси від кута до табличних значень і які застосовують для отримання результату під потрібним кутом, відсутнім у таблиці. Деякі з цих формул, що спочатку дають гарні результати, ближче до горизонту втрачають застосовність, і їхні криві мають курйозний вигляд (див. графік праворуч). На ньому представлено розрахункові криві за такими інтерполяційними формулами.

Формула Гарді, 1962 рік:

Формула Янга та Ірвіна, 1967 рік :

Формула Янга для атмосфери без рефракції, 1994 рік:

Формула Пікерінга, 2002 рік:

Власні розрахунки атмосферної маси пропонували радянські вчені Василь Фесенков та , до того ж остання пробувала розраховувати повітряні маси в умовах сутінків для положень Сонця до 3° за горизонтом. А Георгій Розенберг запропонував доволі компактну формулу інтерполяції, яка дає задовільні результати на всіх кутах від горизонту (див. графік):

де  — зенітний кут.

1965 року Фріц Кастен склав нові таблиці та формули розрахунку повітряної маси, розроблені за сучасними на той час параметрами стандартної атмосфери від 1959 року, що ґрунтувалися на прямих вимірюваннях за допомогою геофізичних ракет і космічних апаратів. Згідно з цією працею, біля горизонту виходило 36,265 одиниць атмосфер. У 1989 році Кастен спільно з Ендрю Янгом опублікували уточнені дані повітряних мас відповідно до стандартної атмосфери від 1972 року за середньосвітової температури 15 °C, тиску 760 мм рт. ст. та усередненої довжини хвилі світла 700 нм (витяги з них представлено в таблиці нижче), а також нову апроксимаційну формулу, що дає гарні результати за всіх кутів світил:

де  — кутова висота. Зі значенням біля горизонту 38 атмосфер ця праця знову наблизилася до результатів роботи Бемпорада, підтвердивши її довготривалу життєздатність як авторитетного джерела.

Таблиці повітряних мас можна знайти в багатьох фізичних, астрофізичних та астрономічних довідниках, як-от, наприклад, у праці Аллена, опублікованій у 1950—1970-ті роки. Зазвичай вони ґрунтуються на історичній праці Бемпорада, що добре зарекомендувала себе, але оскільки його цифри (з урахуванням його ж поправок) мало відрізняються від результатів сучасніших досліджень, їх цілком можна використовувати для більшості обчислень.

Результати розрахунків повітряної маси