У математиці будь-яка зазвичай допускає калібрувальні симетрії, хоча іноді вони можуть бути тривіальні. У теоретичній фізиці поняття калібрувальних симетрій, що залежать від параметричних функцій, є наріжним каменем сучасної теорії поля.

Калібрувальна симетрія визначається як диференціальний оператор на деякому векторному розшаруванні , що набуває своїх значень у лінійному просторі (варіаційних або точних) симетрій . Отже, калібрувальна симетрія залежить від перетинів та їхніх часткових похідних.Giachetta (2008) Прикладом є випадок калібрувальних симетрій у класичній теорії поля.Giachetta (2009) Калібрувальна теорія Янга — Міллса та є прикладами класичних теорій поля з калібрувальними симетріями.Daniel (1980), Eguchi (1980), Marathe (1992), Giachetta (2009)

Калібрувальні симетрії мають такі дві особливості.

Як лагранжеві симетрії, калібрувальні симетрії лагранжіана задовольняють першу теорему Нетер, але відповідний збережений струм набуває певної форми суперпотенціалу , де перший член на розв'язках рівнянь Ейлера — Лагранжа перетворюється на нуль, а другий є граничним членом, де називають суперпотенціалом.Gotay (1992), Fatibene (1994) Відповідно до , існує взаємно однозначна відповідність між калібрувальними симетріями лагранжіана та , які задовольняє оператор Ейлера — Лагранжа. Отже, калібрувальні симетрії характеризують виродження лагранжевої системи.Gomis (1995), Giachetta (2009)

Зауважте, що в квантовій теорії поля твірний функціонал може не бути інваріантним відносно калібрувальних перетворень, і калібрувальні симетрії замінюються симетріями BRST, що залежать від привидів і діють як на поля, так і на привидів.Gomis (1995)

Див. також

Квантова теорія Янга — Міллса

Примітки

Посилання Daniel, M., Viallet, C., The geometric setting of gauge symmetries of the Yang–Mills type, Rev. Mod. Phys. 52 (1980) 175. Eguchi, T., Gilkey, P., Hanson, A., Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. 66 (1980) 213. Gotay, M., Marsden, J., Stress-energy-momentum tensors and the Belinfante–Rosenfeld formula, Contemp. Math. 132 (1992) 367. Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundation of Gauge Theories (North Holland, 1992) . Fatibene, L., Ferraris, M., Francaviglia, M., Noether formalism for conserved quantities in classical gauge field theories, J. Math. Phys. 35 (1994) 1644. Gomis, J., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. 295 (1995) 1; arXiv: hep-th/9412228. Giachetta, G. (2008), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory, J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv: 0807.3003. Giachetta, G. (2009), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) .