Шви́дкість, або погі́н, ху́ткість, пру́дкість — фізична величина, що відповідає відношенню переміщення тіла до проміжку часу, за який відбувалося переміщення. Швидкість — величина векторна, тобто вона має значення (модуль) і напрямок.
Швидкість, як векторна величина здебільшого позначається літерою або , а коли йде мова тільки про кількісне значення швидкості — (від — швидкість).
У системі SI швидкість вимірюється в метрах за секунду — м/с. У системі СГС одиницею вимірювання швидкості є сантиметр за секунду — см/с. У повсякденному житті найпрактичнішою одиницею вимірювання швидкості є кілометр на годину — км/год. У певних галузях людської діяльності чи країнах використовуються специфічні одиниці швидкості, як-от вузол чи фут за секунду.
У науці використовується також швидкість у широкому значенні, як швидкість зміни будь-якої величини (не обов'язково радіус-вектора) залежно від іншої (частіше зміни в часі, але також у просторі або будь-якої іншої). Так, наприклад, говорять про кутову швидкість, швидкість зміни температури, швидкість хімічної реакції, групову швидкість, швидкості зʼєднання тощо. Математично швидкість характеризується похідною функції.
Способи опису швидкості
Траєкторний опис Нехай тіло, що можна вважати за матеріальну точку, рухається по довільній траєкторії. Шлях, який пройшло тіло за проміжок часу : .
За означенням: (1), де — середня шляхова швидкість або середнє значення абсолютної величини швидкості за час . Швидкість тіла найлегше визначити тоді, коли воно здійснює рівномірний прямолінійний рух, тобто долає однакові відстані за однакові проміжки часу. У такому разі швидкість визначається як відношення відстані до часу:
де — шлях, пройдений тілом за час .
Визначене таким способом середнє значення абсолютної величини швидкості — скалярна величина і не повʼязана з переміщенням тіла. Наприклад, дівчина, яка пробігла од Полтави до Хорола, а потім повернулася назад, здійснила нульове переміщення, однак вона рухалася з певною середньою швидкістю, скажімо 10 км/год.
Механіка узагальнює поняття «швидкість» для довільного руху, використовуючи математичний апарат аналізу. Загалом тіла рухаються нерівномірно й можуть змінювати напрямок руху. Для опису такого руху вводиться поняття миттєвої швидкості, яку механіка надалі і називає просто швидкістю. Траєкторія руху тіла розбивається на маленькі ділянки, на яких рух можна вважати рівномірним і прямолінійним, і визначається швидкість на цих ділянках. Швидкість тіла в даній точці траєкторії (у певний момент часу) — миттєва швидкість, — буде тим точніше означена відношенням (1), чим менші значення і . У границі, коли прямує до нуля, отримується вираз для модуля миттєвої швидкості: .
Отже, миттєву швидкість можна знайти за заданою залежністю через похідну по часу для будь-якого моменту часу. Швидкість — векторна величина. Отже, за означенням:
де — одиничний вектор уздовж дотичної до траєкторії, спрямований у напрямку руху в тій точці, у якій визначається швидкість.
Векторний опис
Якщо положення матеріальної точки відносно початку відліку задається радіусом-вектором , то для двох послідовних моментів часу і її переміщення характеризуватиметься вектором .
За означенням, середня швидкість матеріальної точки або середня швидкість переміщення довільного руху за інтервал часу — це векторна величина: ,
де — переміщення тіла за час .
Після застосування граничного переходу вводиться означення миттєвої швидкості.
Миттєва швидкість нерівномірного руху — це вектор у точці, який є границею середніх швидкостей, коли інтервал часу прямує до нуля. Розкриваючи означення, швидкість — це відношення переміщення матеріальної точки за інтервал часу, коли цей інтервал прямує до нуля, тобто похідна за часом від радіуса-вектора точки, що рухається:
.
Вектор швидкості спрямований у бік руху точки по дотичній до траєкторії її руху.
Так само, похідна від швидкості дає миттєве прискорення тіла в момент часу :
Задання швидкості в різних системах координат Проєкції швидкості на осі прямокутної декартової системи координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат точки, що рухається:
З цього: і, отже .
У циліндричній системі координат
і у сферичній системі координат
Прямолінійний рівноприскорений рух Кінцева швидкість об'єкта з початковою швидкістю та постійним у часі прискоренням в період часу визначається як:
Середня швидкість об'єкта з постійним прискоренням становить . Тоді для обчислення відстані переміщення тіла за проміжок часу отримаємо формулу:
Якщо відома тільки початкова швидкість, можна застосовувати формулу:
З цих базових рівнянь виводиться формула, не залежна від параметру часу :
Наведені рівняння справедливі як для класичної механіки, так і для спеціальної теорії відносності. Відмінність ситуації полягає, зокрема, у тому, що в класичній механіці для всіх спостерігачів в інерційних системах відліку прискорення тіла, що рухається, буде однаковим. Для спеціальної теорії відносності це не так.
Швидкість точки при обертанні по колу
Рух матеріальної точки по колу можна охарактеризувати як лінійними кінематичними величинами на основі викладок, зроблених вище, так і кутовими кінематичними величинами — кутовою координатою і кутовою швидкістю .
При обертанні матеріальної точки з кутовою швидкістю по колу радіусом R її миттєва швидкість визначається формулою
Швидкість точки при плоскому русі
Загалом, якщо розглядати рух матеріальної точки A в площині в полярній системі координат, то швидкість можна розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові: радіальну (променеву) й тангенціальну (трансверсальну). Радіальна швидкість направлена вздовж радіус-вектора точки й характеризує віддалення або наближення точки A до початку системи координат O. Тангенціальна швидкість направлена перпендикулярно до радіус-вектора, і характеризує обертання точки А навколо початку відліку О системи координат:
причому
де — полярний радіус-вектор, проведений з полюса в точку, а — одиничний вектор, напрямлений перпендикулярно до площини руху так, що обертання радіус-вектора у бік збільшення кута відбувається проти стрілки годинника. Проєкції радіальної і дотичної швидкостей точки на напрями відповідно радіуса-вектора і прямої, проведеної перпендикулярно до нього в бік зростання кута :
Повне значення швидкості в цьому разі:
Загальний випадок руху твердого тіла
Швидкість поступального і обертального рухів Загалом вільне тверде тіло має шість ступенів вільності. Його розташування в просторі визначається трьома координатами якоїсь довільно вибраної точки O' тіла, яку називають полюсом, і трьома кутами Ейлера ψ, θ, φ, які характеризують положення тіла відносно прямокутної декартової системи координат O'ξης, осі якої паралельні до відповідних осей основної (нерухомої) системи координат Oxyz, а початок знаходиться в полюсі O'. Відповідно рух тіла можна розглядати як сукупність двох рухів, що відбуваються одночасно — поступального зі швидкістю полюса O' й обертального навколо полюса з кутовою швидкістю ω, яка не залежить від вибору полюса.
На рисунку показано жорстко звʼязану з тілом рухому систему координат O'x'y'z. Радіуси-вектори довільної точки A тіла в нерухомій і рухомій системах координат повʼязані співвідношенням:
Швидкість точки A тіла буде дорівнювати:
де — швидкість поступального руху тіла.
Закон додавання швидкостей Звʼязок між радіусами-векторами і точки A, що рухається, проведеними відповідно з початку O нерухомої системи відліку (x, y, z) і початку O' рухомої системи (x', y', z'), має вигляд:
де x', y', z — проєкції на осі рухомої системи, а — орти цих осей.
Абсолютна швидкість точки як похідна по часу від радіус-вектора, дорівнює за умови однаковості перебігу часу в обох системах відліку («абсолютний час»): .
У цьому рівнянні: перший доданок — швидкість поступального руху рухомої системи; наступні три доданки описують зміну в часі ортів , яка може бути зумовлена лише обертанням рухомої системи координат з кутовою швидкістю ω:
останні три доданки характеризують відносну швидкість точки .
Отже,
де — переносна швидкість точки A, що дорівнює абсолютній швидкості тієї незмінно повʼязаної з рухомою системою відліку точки простору, з якою наразі збігається точка A, що рухається.
Отже, абсолютна швидкість руху точки дорівнює векторній сумі її переносної і відносної швидкостей: .
Це положення, на якому базується перетворення Галілея, є справедливим у класичній механіці, але потребує уточнення в релятивістській механіці, де для цього використовується перетворення Лоренца.
Узагальнена швидкість У механіці Лагранжа аналогічним чином вводиться узагальнена швидкість : ,
де — узагальнена координата, тобто одна з величин, що визначають миттєве положення механічної системи.
Наприклад, при обертанні твердого тіла, узагальнена координата: кут повороту . Узагальнена швидкість — це кутова швидкість:
Теорія відносності Основний постулат теорії відносності встановлює максимальну швидкість, з якою може передаватись інформація, а, отже, і рухатися тіло. Ця максимальна швидкість — швидкість світла (мається на увазі швидкість світла у вакуумі) — є універсальною фізичною сталою.
Для опису руху тіл у теорії відносності вводиться 4-вектор швидкості, або 4-швидкість: ,
де ds — просторово-часовий інтервал : ,
де — звичайна тривимірна швидкість, а c — швидкість світла у вакуумі.
4-швидкість — безрозмірна величина. Для 4-вектора швидкості завжди справедливе рівняння:
Відносна швидкість Значення швидкості тіла залежить від системи відліку спостерігача. У класичній механіці, яка використовує принцип Галілея, швидкість тіла в новій системі відліку є векторною різницею його швидкості в старій системі й швидкості нової системи відліку відносно старої : ,
де — швидкість тіла в новій системі відліку, — швидкість тіла в старій системі відліку, — швидкість нової системи відліку відносно старої.
У системі відліку, яка рухається з тією самою швидкістю, що й тіло, воно є непорушним.
У теорії відносності наведена формула не є справедливою, оскільки жодне тіло не може рухатися зі швидкістю, яка перевищувала б швидкість світла. Наприклад, у разі, коли напрям швидкості нової системи відліку збігається з напрямком руху тіла, швидкість у новій системі дорівнює .
За малих швидкостей або ця формула збігається з формулою перетворень Галілея.
Зв'язок з іншими фізичними величинами Тіло, яке рухається з певною швидкістю, має імпульс та енергію. Імпульс матеріальної точки масою , що рухається зі швидкістю , дорівнює .
Кінетична енергія такої матеріальної точки в класичній механіці дорівнює .
Завдяки кінетичній енергії фізичне тіло, яке має відмінну від нуля швидкість, може здійснювати роботу.
Рівняння руху механіки задають зв'язок між прискоренням тіл та силами, які діють на ці тіла. Отже, вони є диференціальними рівняннями щодо швидкостей. Для опису часової еволюції механічної системи потрібно задати не тільки положення тіл, а і їхні швидкості в початковий момент часу. Наприклад, висота, на яку злетить підкинутий угору м'яч, і час його польоту залежать від того, яку початкову швидкість йому надали.
Деякі характерні швидкості
Космічні швидкості