Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять: векторного простору (це модуль над полем); комутативної групи (це модуль над кільцем цілих чисел ); ідеала кільця (це модуль, що є підкільцем).
Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.
Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні серед всіх цілих чисел.
Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.
Визначення Коли задано кільце , то-модулем називається абелева група з додатковою операцією множення на елементи кільця ,
що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності , , , .
Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на: .
Підмодуль, ідеал та гомоморфізм Підмодулем модуля називається підгрупа групи , замкнута відносно множення на елементи з .
Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
Гомоморфізмом -модулів та називається гомоморфізм груп , для якого виконується умова . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають .
Приклади Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (-модуль). Лінійний простір над полем є модулем над полем . Лінійний простір — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень .
Історія Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.
Див. також Бімодуль
Джерела