Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Визначення

Підгрупа групи називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

Множини лівих і правих суміжних класів в збігаються. .

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади

та  — завжди нормальні підгрупи . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група називається простою.

Центр групи — нормальна підгрупа.

Комутант групи — нормальна підгрупа.

Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.

Всі підгрупи абелевої групи нормальні, тому що . Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості

Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів. Нормальність зберігається при побудові прямого добутку. Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною. Наприклад, діедральна група Підгрупа ізоморфна групі Клейна і І далі, але не нормальна в оскільки Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною. Якщо  — найменший простий дільник порядку , то довільна підгрупа індекса нормальна. Якщо  — нормальна підгрупа в , то на множині лівих (правих) суміжних класів можна ввести групову структуру за правилом

Отримана множина називається фактор-групою за . нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах . Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.

Історичні факти Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Див. також Норма (теорія груп) Квазінормальна підгрупа

Примітки

Джерела

Українською

Іншими мовами