Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.
Твердження і доведення Нехай виконуються такі умови: Послідовність обмежена, тобто . . . Тоді ряд є збіжним.
Доведення Із збіжності до нуля маємо, що для будь-якого існує що виконується для всіх . Т
Також:
Оскільки то також :
Відповідно ряд є абсолютно збіжним і ряд збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на , що прямує до нуля.
Приклади застосування
Нехай є монотонною послідовністю і . Якщо взяти то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду . Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле. Якщо є монотонно спадною і . Нехай тепер і де дійсне число Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:
Таким чином:
Із цих формул одержується, що всі суми і за абсолютним значенням є обмеженими числом Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди і є збіжними. Конкретними прикладами таких рядів є і Оскільки комплексне число для якого можна записати як і , то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду для і
Ознака Діріхле для невласного інтеграла Нехай виконуються умови: і має на обмежену первісну , тобто ; функція ; . Тоді існує. Очевидно, також можна було визначити такі умови . Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.
Проте ця умова не є необхідною: — збігається.
Див. також Ознака Абеля Інтегральна ознака Маклорена — Коші
Джерела