Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення. Обернена функція до існує тоді й лише тоді, коли є бієктивною, і якщо вона існує, її позначають
Для функції її обернена має явний опис: вона відображає кожен елемент в єдиний елемент такий, що .
Як приклад розглянемо дійснозначну функцію дійсної змінної, задану формулою . Функцію можна розглядати як таку, що множить свій аргумент на 5, а потім віднімає від результату 7. Щоб скасувати цю дію, потрібно додати 7 до вхідного значення, а потім поділити результат на 5. Отже, оберненою до є функція визначена формулою
Означення
Нехай — функція, областю визначення якої є множина , а — множина . Тоді є оборотна якщо існує функція з у така, що для всіх і для всіх .
Якщо є оборотною, то існує рівно одна функція , що задовольняє цю властивість. Функцію називають оберненою до і зазвичай позначають ; це позначення було запроваджене Джоном Фредеріком Вільямом Гершелем у 1813 році.
Функція є оборотною тоді й лише тоді, коли вона є бієктивною. Це пояснюється тим, що умова для всіх означає, що є ін'єктивною, а умова для всіх означає, що є сюр'єктивною.
Обернену функцію до можна явно описати як функцію
.
Обернені функції та композиція
Нагадаємо, що якщо оборотна функція з областю визначення і областю значень , то
, для кожного і для кожного .
Використовуючи композицію функцій, ці твердження можна переписати у вигляді рівностей між функціями:
та
де — тотожна функція на множині ; тобто функція, яка залишає свій аргумент без змін. У теорії категорій, це твердження використовується як означення оберненого морфізму.
Розгляд композиції функцій допомагає зрозуміти позначення . Повторне застосування функції до самої себе називається ітерацією. Якщо функцію застосувати разів, починаючи зі значення , це записують як ; так, , тощо. Оскільки , композиція з дає , «скасовуючи» ефект одного застосування функції .
Позначення Хоча запис може бути неправильно витлумачений, вираз однозначно означає обернене число до і не має жодного стосунку до оберненої функції . Для позначення оберненої функції з метою уникнення неоднозначності іноді використовують запис який відрізняє її від мультиплікативного оберненняHelmut Sieber und Leopold Huber: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Ernst Klett Verlag..
Дотримуючись загальної традиції позначень, деякі англомовні автори використовують вирази на кшталт для позначення оберненої до синуса функції, застосованої до (насправді йдеться про часткову обернену; див. нижче). Інші автори вважають, що такий запис може бути сплутаний із позначенням мультиплікативного оберненого до , яке можна записати як . Щоб уникнути будь-якої плутанини, обернені тригонометричні функції часто позначаються за допомогою префікса «arc» (від лат. ). Наприклад, обернену до синуса функцію зазвичай називають арксинусом і записують як . Аналогічно, обернені гіперболічні функції позначаються префіксом «ar» (від лат. ). Наприклад, обернену до гіперболічного синуса функцію зазвичай записують як . Записи на кшталт усе ж можуть бути корисними для розрізнення багатозначної обернену функцію та часткову обернену функцію: . Інші спеціальні обернені функції іноді позначаються з префіксом «inv», якщо необхідно уникнути неоднозначності, пов'язаної з позначенням .
Приклади
Функції піднесення до квадрата та квадратного кореня Функція , задана формулою не є ін'єктивною, оскільки because для всіх . Отже, функція не є оборотною.
Якщо ж область визначення цієї функції обмежити невід'ємними дійсними числами, тобто розглянути функцію з тим самим правилом, що і раніше, тоді функція є бієктивною, а отже, оборотною. Її обернена функція називається (додатною) функцією квадратного кореня і позначається як .
Стандартні обернені функції У таблиці нижче наведено кілька стандартних функцій та їх обернених функцій: +Обернені арифметичні функції Функція Обернена функція Примітки (тобто ) (тобто ) (тобто ) ціле ; якщо парне і і і тригонометричні функції обернені тригонометричні функції різні обмеження (див. таблицю нижче) гіперболічні функції обернені гіперболічні функції різні обмеження логістична функція логіт
Формула для оберненої функції Багато функцій, заданих алгебраїчними формулами, мають формулу для своєї оберненої функції. Це пояснюється тим, що обернена функція оборотної функції має явний опис у вигляді
.
Це дозволяє легко знаходити обернені функції для багатьох функцій, заданих алгебраїчними формулами. Наприклад, якщо — це функція
то для визначення для дійсного числа потрібно знайти єдине дійсне число , таке що . Це рівняння можна розв'язати так:
Отже, обернена функція задається формулою
Іноді обернену функцію неможливо представити у вигляді формули замкненого вигляду. Наприклад, якщо — це функція
то є бієкцією і, відповідно, має обернену функцію . Формула для цієї оберненої функції має вигляд нескінченного ряду:
Властивості Оскільки функція є особливим типом бінарного відношення, багато властивостей оберненої функції відповідають властивостям обернених відношень.
Унікальність Якщо для заданої функції існує обернена функція, то вона унікальна. Це випливає з того, що обернена функція має бути оберненим відношенням, яке повністю визначається функцією .
Симетрія Між функцією та її оберненою існує симетрія. Зокрема, якщо — оборотна функція з областю визначення і областю значень , то її обернена функція має областю визначення та областю значень , а оберненою до є початкова функція . У символах, для функцій та ,
and
Це твердження є наслідком того, що для оборотності функція має бути бієктивною. Інволютивний характер операції взяття оберненої функції стисло виражається формулою
Обернена до композиції функцій задається формулою
Зверніть увагу, що порядок функцій і змінюється на протилежний: щоб «скасувати» дію за якою йде дія , спочатку потрібно «скасувати» , а потім — .
Наприклад, нехай а . оді композиція — це функція, яка спочатку множить на три, а потім додає п'ять:
Щоб виконати обернений процес, потрібно спочатку відняти п'ять, а потім поділити на три:
Це і є композиція .
Самообернені функції Якщо — множина, то тотожна функція на є оберненою до самої себе:
Більш загально, функція дорівнює власній оберненій тоді й лише тоді, коли композиція дорівнює . Таку функцію називають інволюцією.
Графік оберненої функції
Якщо функція є оборотною, то графік функції
збігається з графіком рівняння
Це рівняння ідентичне рівнянню , яке задає графік , за винятком того, що ролі та поміняні місцями. Отже, графік можна отримати з графіка помінявши місцями осі та . Це еквівалентно віддзеркаленню графіка відносно прямої .
Обернені функції та похідні Згідно з теоремою про обернену функцію, неперервна функція однієї змінної (де ) є оборотною на своїй області значень (образі) тоді і лише тоді, коли вона є або строго зростаючою, або строго спадною (без локальних максимумів і мінімумів). Наприклад, функція
є оборотною, оскільки її похідна похідна завжди додатна.
Якщо функція є диференційовною на інтервалі і для кожного , то обернена функція є диференційовною на множині . Якщо , то похідна оберненої функції за теоремою про обернену функцію дорівнює
Використовуючи нотацію Лейбніца цю формулу можна записати так:
Цей результат випливає з правила ланцюга (див. статтю про обернені функції та диференціювання).
Теорему про обернену функцію можна узагальнити на функції кількох змінних. Зокрема, неперервно диференційовна is є оборотною в околі точки за умови, що матриця Якобі функції у точці є невиродженою. У цьому разі матриця Якобі функції у точці є оберненою до матриці Якобі функції у точці .
Приклади з реального світу Нехай — це функція, яка перетворює температуру в градусах Цельсія на температуру в градусах Фаренгейта: Тоді її обернена функція перетворює градуси Фаренгейта на градуси Цельсія: оскільки Припустімо, що функція кожній дитині в родині ставить у відповідність рік її народження. Обернена функція в такому разі мала б визначати, яка дитина народилася в заданому році. Однак якщо в родині є діти, народжені в один і той самий рік (наприклад, близнюки, трійнята тощо), то за спільного року народження неможливо однозначно визначити результат. Так само, якщо задано рік, у якому жодна дитина не народилася, то жодну дитину назвати не можна. Але якщо кожна дитина народилася в різний рік і ми обмежимося лише тими трьома роками, у яких народилися діти, то обернена функція існує. Наприклад: Нехай — це функція, яка збільшує деяку величину на відсотків, а — функція, що зменшує її на . Якщо застосувати їх до суми 100 при = 10 %, то виконання спочатку першої функції, а потім другої не відновлює початкове значення 100. Це демонструє той факт, що, всупереч зовнішній схожості, ці дві функції не є оберненими одна до одної. Формула для обчислення pH розчину має вигляд . У багатьох випадках потрібно знайти концентрацію кислоти за виміряним значенням pH. Для цього використовують обернену функцію .
Узагальнення
Часткові обернені функції
Навіть якщо функція не є ін'єктивною, інколи можна визначити її часткову обернену обмеживши область визначення. Наприклад, функція
не є ін'єктивною, оскільки . Проте вона стає ін'єктивною, якщо обмежити область визначення умовою , iі в цьому разі
(Якщо ж обмежити область визначення умовою , то оберненою буде від'ємний квадратний корінь із .)
Повні обернені функції
Альтернативно, немає потреби обмежувати область визначення, якщо погодитися з тим, що обернена функція є багатозначною:
Іноді таку багатозначну обернену називають повною оберненою функцією до , а її частини (такі як і −) називають гілками. Найважливішу гілку багатозначної функції (наприклад, додатний квадратний корінь) називають , а її значення в точці — головним значенням .
Для неперервної функції на дійсній прямій між кожною парою локальних екстремумів потрібна окрема гілка. Наприклад, обернена до кубічної функції з локальним максимумом і локальним мінімумом має три гілки (див. ілюстрацію поруч).
Обернені тригонометричні функції
Наведені вище міркування особливо важливі для означення обернених тригонометричних функцій. Наприклад, функція синуса не є ін'єктивною, оскільки
для кожного дійсного (і загальніше, для кожного цілого ). Проте синус є ін'єктивним на інтервалі , і відповідну часткову обернену функцію називають арксинусом. Її вважають головною гілкою оберненої до синуса функції, тому головне значення арксинуса завжди лежить між − та . Наступна таблиця описує головну гілку кожної оберненої тригонометричної функції: ФункціяДіапазон звичайного arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc
Ліві та праві обернені Композиція функцій зліва і справа не обов'язково збігається. Загалом умови «існує функція така, що » і «існує функція така, що » означають різні властивості функції . Наприклад, нехай — це відображення піднесення до квадрата, тобто для всіх з , а — відображення взяття квадратного кореня, тобто для всіх . Тоді для всіх з [0, ∞); отже, є правою оберненою до . Однак, не є лівою оберненою до , оскільки, наприклад, .
Ліві обернені Нехай . Лівою оберненою до (або ) називають функцію , таку що композиція з зліва дає тотожну функцію Тобто функція задовольняє правило: якщо , то .
Функція повинна збігатися з оберненою до на образі , але може набувати довільних значень для елементів які не належать образу .
Функція з непорожньою областю визначення є ін'єктивною тоді й лише тоді, коли вона має ліву обернену. Елементарне доведення є таким: Якщо є лівою оберненою до і , то . Якщо функція з непорожньою областю визначення є ін'єктивною, побудуємо ліву обернену так: для кожного , якщо належить образу , то існує такий, що . Покладемо Це означення є однозначним, оскільки ін'єктивна. Якщо ж не належить образу , то нехай буде довільним елементом .Для всіх значення належить образу . За побудовою маємо , що і є умовою лівої оберненої.