Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Кінематичне визначення

Розглянемо квадрат (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка рівномірно рухається по дузі від точки до точки ; одночасно відрізок рівномірно рухається з позиції в позицію . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса та відрізка опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої

В полярних координатах:

ВиведенняВиведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай  — радіус кола,  — поточний кут ,  — полярний радіус. Для зручності введемо час , який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки по дузі довжиною можна виразити рівнянням:

Рівномірний рух відрізка виразиться рівнянням:

Виключаючи з рівнянь , отримаємо остаточно:

в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:

ВиведенняПриводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану:

Врахувавши , отримаємо

Із геометричних міркувань: . Тоді рівняння постане у вигляді:

Беремо тангенс обох частин:

тобто

Трисекція кута

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний: Знаходимо точку на квадратрисі і її ординату . Відкладаємо на відрізку його третю частину; отримаємо точку . Знаходимо на квадратрисі точку з ординатою . Проводимо промінь . Кут  — шуканий. Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса . Алгебраїчно це означає рішення рівняння : .

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса її нижньої точки дорівнює . Відобразимо це у вигляді пропорції: , де  — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини . Прямокутник із сторонами і буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. також Дінострат Квадратура круга Трисекція кута

Посилання Quadratrix of Hippias на MacTutor archive. Quadratrix of Hippias на Convergence.