В абстрактній алгебрі простий ідеал — ідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.
Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.
Визначення
Ідеал кільця називається простим, якщо і якщо з того, що добуток двох ідеалів міститься в , то принаймні один з ідеалів або міститься в .
У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню: Ідеал називається простим якщо виконуються умови: якщо такі, що для всіх , їх добуток належить , тоді або . не рівне кільцю .
У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів з того, що , випливає що або . Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим. Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.
Властивості
Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом. Ідеал у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему. Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення. Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці з одиницею заданий ідеал , що не перетинається з мультиплікативною системою . Тоді існує простий ідеал , що містить і не перетинається з системою . Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять і не перетинаються з системою є непорожньою (вона містить ідеал ), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал . Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю. Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал , збігається з радикалом ідеалу (тобто множиною ) Нехай — простий ідеал, що містить . Якщо елемент f належить радикалу , значить деякий його степінь належить ідеалу , відповідно f не може належати доповненню до , оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал . Навпаки: нехай f не належить радикалу . Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає . За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал .
Приклади Нехай R — кільце C[X, Y] многочленів від двох змінних, з комплексними коефіцієнтами. Тоді ідеал породжений многочленом Y2 − X3 − X − 1 є простим. У довільному кільці з одиницею довільний максимальний ідеал є простим. Нехай максимальний ідеал кільця і припустимо має ідеали і і , але . Оскільки є максимальним, маємо . Тоді,
Тому або , тобто ідеал є простим.
Література Українською
Іншими мовами
Посилання Characterization of prime ideals на сайті PlanetMath.