Підгрупа кручення (торсійна підгрупа) () — підгрупа елементів скінченного порядку абелевої групи. Підгрупа кручення абелевої групи позначається .
Підгрупою p-кручення називається множина всіх елементів порядок яких рівний деякому степеню простого числа p. Підгрупи кручення і p-кручення групи визначені однозначно. Якщо усі елементи групи мають скінченний порядок то група називається періодичною. Якщо єдиним елементом скінченного порядку є нульовий елемент то група називається групою без кручень.
Властивості і приклади Група кручення може бути розкладеною в суму підгруп p-кручення для простих чисел p:
Будь-яка скінченнопороджена абелева група може бути розкладена в пряму суму вигляду
де — прості числа. Факторгрупа є групою без кручень. Вимога комутативності групи є важливою, оскільки для неабелевих груп, множина елементів скінченного порядку може не бути групою. Наприклад у групі заданій наступним співвідношенням:
< x, y | x² = y² = 1 > елементи x і y мають порядок 2, проте елементи xy і yx мають нескінченні порядки. Довільна скінченна абелева група є групою кручення. Зворотне твердження не є вірним.
Див. також Періодична група Скрут (алгебра)
Література