Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають -функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ (стилізоване P).
Визначення
Нехай задана деяка ґратка в . Тоді -функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду
Можна побачити, що така функція буде -періодичною на , і тому є мероморфною функцією на .
Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, — «наївної» спроби задати -періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як , а сума по двовимірних ґратках є розбіжною.
Варіанти визначення
Задаючи ґратку її базисом , можна записати
Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна , позначивши , має місце рівність:
Тому розглядають
Властивості Функція Веєрштрасса — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0. Скориставшись розкладом і посумувавши по , можна одержати розклад в точці функції Веєрштрасса в ряд Лорана:
де — ряди Ейзенштейна для ґратки (відповідні непарні суми рівні нулю).
Проте, коефіцієнти при і часто записують в іншій, традиційній формі:
де і — модулярні інваріанти ґратки :
Диференціальні і інтегральні рівняння
Диференціальні рівняння З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння: .
Інтегральні рівняння Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай
де g2 і g3 приймаються константами. Тоді
Модулярний дискримінант
Модулярний дискримінант еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище:
Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом
де такі, що .
Справедлива рівність , де позначає .
Коефіцієнти Фур'є розкладу в ряд по степенях визначаються через .
Додаткові властивості
Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:
(або в більш симетричній формі
де ).
Також
і
якщо не є періодом.
Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса
Будь-яка еліптична функція з періодами і може бути представлена у вигляді
де h, g — раціональні функції, — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у . Якщо при цьому є парною функцією, то її можна представити у вигляді , де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами і є скінченним розширенням поля комплексних чисел, з породжуючими елементами і .
Див. також
Еліптична функція Еліптична крива Еліптичні функції Якобі Ряди Ейзенштейна
Примітки
Література K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6