Функція Гріна — математична конструкція, що використовується для опису квантових систем багатьох частинок, зокрема в квантовій теорії поля та в статистичній фізиці. Назва функції пов'язана із функцією Гріна, що використовується в математиці, оскільки вони задовольняють схожі рівняння із точковим джерелом. Функція Гріна містить повну інформацію про квантову систему.
У теорії багатьох частинок поняття функції Гріна використовується для позначення всіх кореляційних функцій, але найчастіше означає корелятор польових операторів народження і знищення.
Двоточкова функція Гріна визначається як:
Тут G — функція Гріна, — оператори поля в гайзенбергівському зображенні, — основний стан квантової системи, — оператор часового упорядкування. Часове упорядкування означає те, що всі оператори повинні бути розташовані в порядку зменшення часу. При цьому для ферміонів унаслідок комутаційних співвідношень оператор упорядкування вносить також множник (-1)p, де p — кількість перестановок, необхідна для встановлення правильного порядку часів.
Загалом функція Гріна невідома й задача її відшукання аналогічна розв'язанню рівняння Шредінгера, але формалізм функцій Гріна для багаточастинкових систем закладає зручну основу для теорії збурень і використання техніки діаграм Фейнмана.
Просторово однорідний випадок
Основні означення
Розглядається теорія багатьох частинок з польовим оператором (оператором знищення у координатному представленні) .
Від картини Шредінгера можна перейти до картини Гейзенберга:
де — гамільтоніан системи, що описується великим канонічним ансамблем.
Аналогічно для операторів з уявним часом:
причому легко бачити, що такий уявночасовий оператор народження не є ермітово спряженим до оператора знищення .
У випадку дійсного часу -точкова функція Гріна означається таким чином:
де використана скорочена нотація, в якій під мається на увазі , а позначає . Крім того, оператор позначає часове впорядкування, тому польові оператори за ним впорядковуються таким чином, що їхні часові аргументи зростають зправа наліво.
Для уявного часу відповідне означення має вигляд:
де під мається на увазі . Варто відмітити, що уявночасові змінні обмежені значеннями від нуля до оберненої температури , де — стала Больцмана.
Треба відзначити, що приймається така домовленість щодо знаків та нормування: знак функції Гріна обирається так, аби перетворення Фур'є двоточкової () термальної функції Гріна для вільних частинок мало такий вигляд:
а для запізнювальної функції Гріна:
де є мацубарівськими частотами. Крім того, дорівнює для бозонів і для ферміонів, а позначає відповідно комутатор або антикомутатор.
Фур'є-образ функції Гріна Для просторово однорідних систем, гамільтоніан яких не залежить від часу, функція Гріна залежить від різниці часів та координат:
Важливим і зручним для використання є фур'є-образ функції Гріна:
Застосування в фізиці твердого тіла Функція Гріна фермі-газу, в якому електрони не взаємодіють між собою, має вигляд:
де — енергія електронних станів, m — маса електрона, — зведена стала Планка, а — нескінченно мала величина, причому для , і при . Тут — значення хвильового вектора на сфері Фермі.
Така поведінка характерна для функції Гріна взагалі. Її полюси на комплексній площині частоти або енергії визначають спектр станів системи. У випадку ідеального фермі-газу полюси розташовані близько до дійсної осі ( — нескінченно мала). При розгляді систем частинок, що взаємодіють між собою, полюси функції Гріна лежать на певній віддалі від дійсної осі, а тому містять уявну частину, яка описує затухання збуджень. Див. також Рівняння Калана-Симанзіка
Джерела