Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. Теорема Піка (комплексний аналіз).
Якщо розглянути простий многокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілими координатами), так, що всі вершини многокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі цього многокутника, за кількістю (точок решітки усередині фігури) і кількістю (точок решітки), розміщених по периметру многокутника:
У наведеному прикладі маємо (внутрішніх точок) і (граничних точок), так що площа = 7 + − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць.
Вищенаведена теорема справедлива лише для простих многокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної межі, без перетинів і дірок. Для загального многокутника формула Піка має такий вигляд:
,
де — кількість вершин всередині і на межі многокутника, — кількість точок решітки на межі многокутника, і — кількість дірок у многокутнику.
Як приклад розглянемо многокутник, побудований за допомогою точок . Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, один раз на кожній стороні.
Результат вперше описав Георг Александр Пік в 1899. CiteBank:47270 Тетраедр Ріва демонструє, що немає аналога теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм многогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для вищих розмірностей через многочлен Ергарта.
Доведення Розглянемо многокутник і трикутник , що має з одне спільне ребро. Припустимо, що теорема Піка справедлива як для , так і для незалежно один від одного; ми хочемо показати, що це також справедливо для многокутника , отриманого шляхом додавання до . Оскільки і мають одне спільне ребро, всі граничні точки уздовж цього ребра стають внутрішніми точками, за винятком двох кінцевих точок, які об'єднуються з граничними точками. Отже, якщо — кількість спільних граничних точок, то маємо:
і
З вищезазначеного випливає:
і
Оскільки ми припускаємо виконання теореми і для , і для , то:
Тому, якщо теорема справедлива для многокутників побудованих з трикутників, вона справедлива і для многокутників, що побудовані з трикутника. Добре відомо, що довільний многокутник можна розбити на симплекси тріангуляція. Це тривіальний факт у випадку площини. Для завершення доведення методом математичної індукції достатньо довести її у випадку трикутників. Перевірку цього випадку здійснюється за допомогою наступних коротких кроків:
припускаємо, що формула справедлива для будь-якого одиничного квадрата (з вершинами, що мають цілі координати); на основі цього виводимо, що формула є справедливою для будь-якого прямокутника зі сторонами парелельними осям; отримуємо формулу для прямокутних трикутників, отриманих шляхом розрізання таких прямокутників по діагоналі; тепер будь-який трикутник можна перетворити на прямокутник, приєднавши такі прямокутні трикутники; оскільки формула виконується для прямокутних трикутників і для прямокутника, вона також буде виконуватися для початкового трикутника.
На останньому кроці застосовується той факт, що якщо теорема справедлива для многокутника і для трикутника , то це також має місце для многокутника ; це можна побачити на основі обчислень, які подібні до наведених вище.
Нерівність для опуклих множин Нехай — обмежена, опукла область в , не обов'язково замкнена. Тоді:
,
де — це набір точок решітки в , і — їх кількість. Рівність має місце тоді і лише тоді, коли — замкнений многокутник решітки. Для доведення розглянемо опуклий оболонку для , яку слід розуміти як наближення решітки для області , а потім застосуємо до неї теорему Піка:
де — кількість граничних точок , що дорівнює кількості його ребер, і оскільки кожне ребро має мінімальну довжину 1, то:
.
Перехід використовує властивість, що між двома вкладеними, опуклими, замкнутими кривими, внутрішня крива буде коротшою на основі прямого застосування формули Крофтона.
Формула залишається справедливою і у виродженому випадку, коли знаходиться на одній лінії. Потрібно просто порахувати кожен ребро двічі (по одному разу з кожної сторони).
Див. також
Послідовність Фарі Многочлен Ергарта
Примітки
Література