Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналога для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.
Формулювання
Нехай — вимірні функції на просторі з мірою , що приймають значення в чи і задовольняють умови :
Послідовність функцій збігається за мірою до функції на всій множині .
Існує функція така що :
Тоді і
при чому виконується :
Доведення Доведемо, що :
оскільки є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх виконується , то здійснивши граничний перехід одержуємо, звідки .
Використавши і застосувавши лему Фату,
Оскільки то,
звідки
скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :
Зауваження Умова мажорованості послідовності інтегрованою функцією не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай , де - борелівська -алгебра на , а - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо
Тоді послідовність не може бути мажорована інтегрованою функцією, і
В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей майже всюди. Справді якщо позначити і — множина на якій послідовність не збігається до f, то для всіх . Позначивши маємо і перевизначивши на маємо, що задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.
Застосування до теорії ймовірностей
Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина , така що майже напевно. Тоді випадкові величини інтегровні і
Див. також Лема Фату Інтеграл Лебега Вимірна функція
Література