Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен ,

де і .

У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади Всі раціональні числа є алгебраїчними: число є, наприклад, коренем рівняння . Уявна одиниця, число є алгебраїчним, як корінь рівняння . Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий. Якщо — алгебраїчні числа, тоді — трансцендентне число. Числа і є алгебраїчними (кути в градусах). Цей факт випливає з тригонометричної рівності:

Тому якщо визначити послідовність многочленів:

то Звідси одержуємо: тобто є коренем многочлена що й доводить твердження.

Для достатньо зазначити, що всі степені в є парними і що .

Мінімальний многочлен Якщо — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним . Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа . Степінь мінімального многочлена називається степенем алгебраїчного числа . Інші корені мінімального многочлена називаються спряженими до . Висотою алгебраїчного числа називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого є коренем.

Мінімальний многолен числа має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли — ціле алгебраїчне число.

Приклади

Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня. Уявна одиниця так само як є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно та . При будь-якому натуральному , є алгебраїчним числом -го степеня.

Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо і — алгебраїчні числа то їх обернені елементи і , а також сума і добуток також є алгебраїчними числами.

Доведення Спершу доведемо алгебраїчність . Якщо — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого є коренем, то буде коренем многочлена . Тобто — алгебраїчне число.

Якщо — корінь многочлена , то є коренем многочлена , отже теж є алгебраїчним числом.

Доведемо тепер алгебраїчність . Припустимо α є коренем многочлена і є коренем многочлена . Нехай — всі корені (враховуючи їх кратність, так що степінь рівний ) і нехай — всі корені . Розглянемо многочлен: .

Множина є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти є симетричними многочленами від чисел . Тому якщо, — елементарні симетричні многочлени від і — деякий коефіцієнт (при ) многочлена , тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що для деякого многочлена з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти також є симетричними многочленами від чисел . Нехай і — елементарні симетричні многочлени від тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени для деякого многочлена з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт . Тому і оскільки є коренем це число є алгебраїчним.

Алгебраїчність числа доводиться аналогічно до випадку , розглядаючи многочлен: .

Властивості

Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора). Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині. Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим. Для довільного алгебраїчного числа існує таке натуральне , що — ціле алгебраїчне число. Алгебраїчне число степеня має різних спряжених чисел (включаючи саме число ). і спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля , що переводить у . В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження Теорема Ліувіля: якщо є коренем многочлена степінь якого рівний , тоді існує число залежне від , що

, для довільного раціонального числа .

Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо є алгебраїчним числом, тоді для довільного існує лише скінченна кількість пар цілих чисел де для яких:

Див. також Ціле алгебраїчне число Алгебраїчне розширення

Посилання Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числах // Конспект курсу лекцій. M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes

Література

Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969. Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940. Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952 Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966. Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X