Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору над полем в векторний простір (над тим же полем )
що має властивість лінійності:
Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр: адитивність однорідність
Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то й ізоморфізмом.
Лінійне відображення — важливе поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.
У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.
Лінійне відображення, лінійний оператор — узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції ) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, оскільки їх властивості не залежать від природи величин.
Часткові випадки
Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого
множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до , який теж є лінійним простором (позначається звичайно )
лінійне перетворення — лінійний оператор, для якого
Тотожний оператор — оператор , що відображає кожен елемент простору в самого себе. Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору в нульовий елемент простору
Композиції лінійних відображень Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним. Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним. Якщо f1:V→W і f2:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f1+f2 (визначене як (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)) теж є лінійним. Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.
В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.
Ядро та образ відображення
Ядром лінійного відображення називається така підмножина що:
Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі
Образом лінійного відображення називається така підмножина що:
Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі
Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:
Число називається ранг і записується як чи
Якщо розмірності і скінченні й вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів.
І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.
Матриця лінійного відображення Якщо в просторі вибрано базис , в просторі вибрано базис , то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця
j-ий стовпчик якої складається з координат вектора , тобто координат образу j-го базисного вектора
в базисі
Координати образу вектора в базисі при лінійному відображенні виражаються через координати вектора в базисі за формулою:
Матриці лінійного відображення в різних базисах Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення в базисах і то
де S і T — матриці переходу від базису до базису і від базису до базису відповідно:
При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір): для зміни базису використовується матриця переходу; матриці перетворення в різних базисах є подібними матрицями.
Див. також Перетворення (математика) Теорія операторів Спектр оператора Скалярний добуток Гільбертів простір Евклідів простір Базис
Примітки
Джерела