Збіжність за Борелем — узагальнення поняття збіжності ряду, запропоноване французьким математиком Емілем Борелем. Загалом існує два нееквівалентні визначення, які пов'язують з іменем Бореля.
Визначення Нехай дано числовий ряд Ряд називається збіжним за Борелем (або B-збіжним), якщо існує границя: де Sk — часткові суми ряду. Число S тоді називається борелівською сумою ряду. Нехай дано числовий ряд Ряд називається збіжним за Борелем (або B'-збіжним), якщо існує інтеграл:
Приклад Розглянемо ряд Цей ряд є розбіжним для довільного Проте за інтегральним визначенням збіжності за Борелем маємо:
і сума є визначеною для від'ємних значень x.
Властивості Нехай функція:
регулярна в нулі і С — множина всіх її особливих точок. Через кожну точку проведемо відрізок і пряму що проходить через точку Р перпендикулярно до . Множина точок, що лежать по одну сторону з нулем для кожної з прямих позначимо . Тоді межа області називається многокутником Бореля функції f(z), а область її внутрішньою областю. Справедлива теорема: ряд
є B-збіжним в області і не є B-збіжним в області — доповненні до .
Див. також Збіжність за Чезаро Збіжність за Ейлером Збіжність за Пуассоном — Абелем
Посилання Borel summation method , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 Borel Summation
Література
Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .