Пучок — абстрактний математичний об'єкт, використання якого забезпечує єдиний підхід для встановлення зв'язків між локальними і глобальними властивостями топологічних просторів (зокрема геометричних об'єктів) і широко використовується в сучасній алгебрі, геометрії, топології і аналізі.
Визначення
Передпучок
На топологічному просторі X заданий передпучок об'єктів, якщо:
Кожній відкритій підмножині зіставлений певний об'єкт деякої категорії (найчастіше деяка множина, абелева група, кільце, модуль над кільцем і т. ін.) . Для кожної пари відкритих множин визначений морфізм обмеження такий, що — тотожний морфізм об'єкта і для кожної трійки відкритих множин виконується:
Якщо об'єкти є множинами, то елементи також називаються перетинами пучка над множиною U.
Іншими словами, передпучок — контраваріантний функтор з категорії відкритих підмножин X і їх вкладень в деяку категорію.
Пучок
Передпучок на X називається пучком (множин, абелевих груп, кілець, модулів над кільцем і т. ін.) якщо він задовольняє дві умови
Якщо для деякої відкритої множини V простору X і для її відкритого покриття сімейством відкритих множин , для всіх множин із покриття то також Передпучки із такою властивістю також називаються монопередпучками. Для довільного відкритого покриття сімейством відкритих множин і для довільних , з того що :
випливає існування такого що : для всіх елементів покриття. Замітка. Визначення пучка існує і у випадку коли об'єктами категорії не є множини. Проте цей випадок вимагає глибших понять теорії категорій і не часто використовується у застосуваннях.
Приклади
Пучки функцій
Одним з найпростіших і найважливіших прикладів є пучок неперервних функцій на топологічному просторі X. Обмеження неперервної функції на відкриту підмножину є неперервною функцією на цій підмножині, і функція, задана частково на відкритих підмножинах, може бути відновлена на їх об'єднанні.
Точніше, для кожної відкритої підмножини U простору X позначимо F(U) множину всіх неперервних дійснозначних функцій . Маючи відкриту множину V, що міститься в U, і функції f з F(U), ми можемо звузити область визначення функції f до множини V і одержати функцію . Обмеження є неперервною функцією на V, отже, воно є елементом множини F(V). Таким чином, визначено відображення обмеження .
Припустимо, що задана узгоджена система неперервних функцій . Це означає, що обмеження функцій fi і fj на множині повинні бути рівними. Визначимо тепер функцію таким чином: оскільки U - об'єднання всіх Ui, кожна точка x з U покрита множиною Ui для деякого i. Визначимо значення функції f в точці x рівним fi(x). Це визначення коректно: якщо x лежить також і в Uj, то по умові узгодженості fi(x)= fj(x), тому все одно, яку з цих функцій користуватися для визначення f(x). При цьому функція f неперервна в точці x, оскільки в її околі Ui вона рівна неперервній функції fi(x). У результаті функція f неперервна в кожній точці з U, тобто неперервна в U. Більш того, f — єдина неперервна функція, обмеження якої на області Ui рівне fi, оскільки функція повністю визначається своїми значеннями в точках.
Насправді, одержаний пучок є не просто пучком множин. Оскільки неперервні функції можна поточково додавати і одержувати знову неперервні функції, цей пучок також є пучком абелевих груп. Оскільки їх також можна перемножувати, цей пучок є пучком комутативних кілець. Оскільки неперервні функції на множині утворюють векторний простір над , то цей пучок — пучок алгебр над .
Шари передпучків і пучків
Нехай X є топологічним простором і — деякою його точкою. Нехай також на цьому просторі задано передпучок об'єкти якого є множинами можливо із додатковою структурою (наприклад абелеві групи, кільця). Шар пучка у точці дозволяє вивчити властивості пучка в околі цієї точки.
Формально:
де пряма границя береться по усіх відкритих підмножинах простору які місять точку . Множина таких відкритих підмножин є спрямованою щодо включення множин і верхньою межею двох множин є їх перетин.
Із означення прямої границі можна більш детально записати: шаром є фактор-множина множини усіх де є відкритою множиною, що містить а і дві пари і є еквівалентними якщо існує відкритий окіл точки для якого
Якщо об'єкти передпучка мають додаткову структуру, то таку структуру можна задати і на всіх шарах передпучка. Наприклад у випадку абелевих груп сума двох елементів і шару задається як Із цією операцією теж є абелевою групою.
Для елемент шару часто також позначається У випадку пучків якщо то тоді і тільки тоді коли для всіх точок Для передпучків таке твердження є неправдивим.
Аналогічно поняття шару можна ввести для передпучків із значеннями у довільній категорії у якій існують прямі границі. Як і вище шаром у точці буде пряма границя щодо спрямованої множини відкритих підмножин, що містять .
Приклади Якщо — абелева група, — топологічний простір і можна задати передпучок у якому якщо і якщо і відображення обмеження є або ізоморфізмом або одним із зображень чи в залежності від того чи належить точка множинам і . Тоді і для . Якщо натомість для всіх відкритих множин , то також і для всіх точок . Тут може позначати довільну множину чи навіть об'єкт довільної категорії. Передпучки такого типу називаються сталими передпучками.
Простір пучка (етальний простір) Альтернативно означення пучка над топологічним простором можна дати за допомогою деякого топологічного простору (простору пучка чи етального простору від французького espace étalé) і відображення із цього простору на , що є локальним гомеоморфізмом. Історично таке означення з'явилося давніше, ніж означення на початку статті. Для етального простору відповідний пучок одержується як множина локальних перетинів, тобто для за означенням є множиною усіх неперервних відображень із у відповідний простір, що є правими оберненими до відповідного локального гомеоморфізму.
Етальні простори (перед)пучків Для довільного пучка і навіть передпучка можна побудувати відповідний етальний простір. Нехай є передпучком множин над топологічним простором . Як множина відповідний етальний простір є диз'юнктним об'єднанням усіх шарів передпучка: . Якщо є деякою довільною точкою простору, то для деякого і тоді можна задати відображення для якого Згідно означення
На множині можна задати топологію за допомогою бази елементами якої є множини виду де є відкритою множиною, і Ці множини утворюють базу топології оскільки якщо то за означенням для і тому існує відкрита множина для якої і тоді .
Для топології породженої цією базою відображення є локальним гомеоморфізмом. Усі відображення виду для відкритих множин і елементів є неперервними. Також для таких відображень для всіх тобто усі є локальними перетинами.
Абстрактний етальний простір і його пучок Враховуючи ці властивості можна навпаки для топологічного простору дати означення простору пучка (або етального простору) як топологічного простору для якого існує сюр'єктивне відображення що є локальним гомеоморфізмом. При такому означенні відображення є відкритим. Якщо позначити множину всіх перетинів, тобто неперервних відображень для яких є тотожним відображенням, то із відповідними обмеженнями на відкриті підмножини одержується пучок Для довільного перерізу образ буде відкритою множиною і всі такі множини для різних і утворюють базу топології простору . Для довільної точки шар пучка є ізоморфним множині простору .
Властивості Таким чином для довільного передпучка множин одержується відповідний етальний простір і навпаки для кожного етального простору одержується пучок. При цьому виконуються влістивості
Якщо для довільного етального простору одержати як вище відповідний пучок, а для нього побудувати етальний простір то він буде ізоморфний початковому простору. Якщо для довільного пучка побудувати етальний простір і з нього одержати пучок, то він буде ізоморфним початковому пучку. Для передпучків, що не є пучками це не так, оскільки за описаною вище процедурою із етального простору завжди одержується саме пучок. Для того щоб розглядати пучки із додатковими алгебричними структурами вимагається неперервність відповідних алгебричних операцій. Наприклад для абелевих груп при означені абстрактного етального простору додається вимога щоб на усіх шарах була задана структура абелевої групи і відповідна операція додавання була неперервною. Тобто, якщо позначити то відображення має бути неперервним відображенням із у
Для етального простору із такими умовами відповідний пучок буде мати відповідну структуру (наприклад абелевих груп). Навпаки якщо на шарах етального простору породженого передпучком ввести структуру шарів передпучка то у вказаній топологіє алгебричні операції будуть неперервними.
Приклад Нехай є сталим передпучком над топологічним простором де всі є рівні деякій множині . Оскільки всі шари цього передпучка теж є рівними , то як множина етальний простір є рівним добутку множин і відображення є проекцією на перший множник. Оскільки для всіх відкритих множин і множини є елементами бази топології то сам простір із цією топологією є добутком топологічних просторів і із дискретною топологією.
Пучок породжений передпучком Якщо є передпучком на топологічному просторі , для нього існує тісно пов'язаний пучок над тим же простором, що називається пучком породженим передпучком (або асоційованим із передпучком, в англійській мові використовується також термін sheafification). Його означення можна дати кількома пособами:
Для кожної відкритої множини множину змінюють так щоб задовольнялися умови в означенні пучка. Це можна зробити в два етапи: Замість розглядається фактор-множина у якій елементи належать одному класу еквівалентності якщо і тільки якщо для всіх (що рівнозначно існуванню відкритого покриття обмеження і на всі елементи якого є рівними). Для цих фактор-множин також визначеними є відображення обмеження адже якщо то з того, що для всіх випливає, що для всіх , де позначають обмеження на множину Тобто образи представників одного класу еквівалентності теж належать одному класу еквівалентності. Одержаний таким чином передпучок є монопередпучком породженим пучком . Для монопередпучка замість розглядається множина елементами якої є класи еквівалентності відкритих покриттів і елементів для яких для всіх елементів покриття. Два покриття і із відповідними елементами і задають один елемент якщо для всіх непорожніх завжди . Тоді і відображення можна задати якщо образом покриття із , що задовольняють вказані умови визначити покриття із обмеженнями Тоді є пучком, який і називають пучком породженим передпучком . Якщо є передпучком на топологічному просторі для нього можна одержати етальний простір Тоді розглядаючи як у попередньому розділі множини перетинів одержується пучок , який і буде пучком породженим передпучком . Окрім того для кожної відкритої множини визначаються відображення задані як для і — породжений ним перетин етального простору описаний вище. Ці відображення задають морфізм передпучків . Ще одне означення можна дати за допомогою універсальних властивостей. Це означення можна використовувати і у випадках передпучків із значеннями у більш загальних категоріях, ніж категорія множин. Це означення використовує поняття морфізмів передпучків і пучків, які описані нижче. Нехай є передпучком на топологічному просторі . Тоді існує єдиний (з точністю до ізоморфізмів) пучок і морфізм передпучків для яких виконується універсальна властивість: для будь-якого пучка і морфізма передпучків існує єдиний морфізм пучків для якого Пучок і буде пучком породженим передпучком .
Властивості
Якщо є пучком, то пучок породжений ним є ізоморфним пучку . Для всіх точок для передпучка і породженого ним пучка шари і є ізоморфними. У випадку множин це означає бієктивність, у випадку додаткових структур, також ізоморфізм відносно алгебричних операцій. До того ж ізоморфізм породжується морфізмами передпучків описаними в попередніх означеннях.
Приклади