Спеціальні функції — функції, що зустрічаються в різних додатках математики (найчастіше — у різних задачах математичної фізики), які не виражаються через елементарні функції. Спеціальні функції представляються у вигляді рядів або інтегралів.
Класифікація Спеціальні функції виникають звичайно з таких міркувань: Інтеграли, що не беруться. Розв'язок трансцендентних рівнянь, що не виражаються в елементарних функціях. Розв'язок диференціальних рівнянь, що не виражаються в елементарних функціях. Ряди, що не збігаються до елементарних функцій. Математичний вираз властивостей чисел. Необхідність задання функції з незвичайними властивостями.
Цей поділ не є строгим, оскільки, наприклад, більшість неелементарних розв'язків диференціальних рівнянь вдалося виразити через інтеграли, що не беруться, або у вигляді ряду. Тому не існує строгої класифікації трансцендентних функцій.
Більшість спеціальних функцій є трансцендентними.
Типи функцій Функції-інтеграли. До таких спеціальних функцій відносяться: бета-функція, гамма-функція, інтеграл ймовірності, інтегральний логарифм, інтегральний синус, інтегральний косинус, еліптичні функції. Функції-ряди. До таких функцій відносяться гіпергеометрична функція, дзета-функції. Неелементарні розв'язки диференціальних рівнянь. До таких спеціальних функцій відносяться: сферичні функції, циліндричні функції, функції Ейрі, функції параболічного циліндра. Незвичайні функції. Існує багато функцій з незвичайною поведінкою, вигаданих для різних цілей. Це функція Діріхле, функція Гевісайда (та її частинний випадок — Signum-функція). Функції, що виражають властивості чисел. Ці функції зазвичай пов'язані з найпростішими властивостями чисел. Сюди перш за все можна віднести спеціальні арифметичні функції, модуль, знак числа, факторіал. Майже всі з цих функцій є частковими випадками дуже загальної функції G-функції Мейєра.
Див. також Проєкт Бейтмана Функція (філософія) Інтеграл Джексона Хі-функція Лежандра
Література Математический энциклопедический словарь, — Любое издание. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.
Посилання О. М. Кисельов. Зоопарк чудовиськ або знайомство зі спеціальними функціями. Ф. Олвер. Введення в асимптотичні методи і спеціальні функції . EqWorld .
~ history / Biographies / Bateman.html Biographies: Harry Bateman ~ history / Biographies / Erdelyi.html Biographies: Arthur Erdélyi Вищі трансцендентні функції