В теорії груп, група кватерніона є групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q8 і представляється заданням групи
де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи.
Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі.
Властивості
Група кватерніона є гамільтоновою: Q8 є неабелевою, але всі її підгрупи є нормальними.
Можна побудувати 4-вимірний дійсний векторний простір з базисом {1, i, j, k} і зробити з нього асоціативну алгебру ввівши множення, як описано вище, та добавивши дистрибутивний закон. Отримаємо тіло кватерніонів.
Порядок елементів i, j, k рівний 4, і довільні два з них утворюють породжуючу множину групи. Інше задання групи:
Центр та комутант групи Q8 це підгрупа {±1}. Факторгрупа Q/{±1} ізоморфна 4-групі Клейна V4. Група внутрішніх автоморфізмів Q8 також ізоморфна 4-групі Клейна. Повна група автоморфізмів Q8 ізоморфна S4, симетричній групі з 4 елементів. Група зовнішніх автоморфізмів Q8 рівна S4/V = S3.
Матричне представлення
Група кватерніона може бути представлена як підгрупа загальної лінійної групи:
де
Всі матриці мають одиничний детермінант, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну група SL2(C).
Також важливим є представлення Q8 в 8 елементів 2-векторного простору над скінченним полем F3:
де
де {−1,0,1} елементами з поля F3. Всі матриці мають одиничний детермінант над F3, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну групу SL(2, 3). Насправді Q8 є нормальною підгрупою SL(2, 3) індексу 3.
Див. також Кватерніон Гурвіца Список малих груп
Джерела
Українською
Іншими мовами