Функції випадкових величин — це один з основних розділів теорії ймовірностей та математичної статистики.
Означення Нехай на ймовірносному просторі задана випадкова величина , розглянемо функцію дійсного аргументу, область визначення якої включає в себе усі можливі значення заданої випадкової величини. Тоді випадкову величину, яка кожній елементарній події з простору елементарних подій ставить у відповідність число — називають функцією від однієї випадкової величини. Зауваження: якщо випадкова величина, яка є аргументом функції, дискретна, то функція від цієї випадкової величини завжди буде дискретною випадковою величиною. А якщо неперервна — то відповідна випадкова величина може бути як дискретною так і неперервною, все залежить від функціональної залежності відповідних випадкових величин.
Приклад:
має стандартний гаусівський розподіл;
Тоді розподіл буде мати вигляд: :{| class="wikitable"
Дискретний випадок
Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину, закон розподілу якої має вигляд:
{| class="wikitable" |- | || х1 || х2 || || хn |- | р || p1 || p2 || || pn |} Подія () настає з імовірністю , з цією ж ймовірністю набуває значення . Тому закон розподілу випадкової величини такий:
{| class="wikitable" |- | || ƒ(х1) || ƒ(х2) || || ƒ(хn) |- | р || p1 || p2 || || pn
Якщо існує декілька значень , для яких одне і те саме, то всі такі випадки об'єднуються в один, якому відповідає за теоремою додавання ймовірність, що дорівнює сумі ймовірностей об'єднуваних подій.
Неперервний випадок
Приклад: Нехай , і покладемо . Тоді Диференціюючи даний вираз, маємо (і в іншому випадку).
Приклад: Нехай , і нехай . Тоді не важко помітити, що (або взявши похідну отримаємо , для ).
</div>
</div>
Нехай має довільний неперервний розподіл, і припустимо, що диференційовна та строго зростає (обернена функція існує та єдина). Покладемо . Обчислення, подібні до наведених вище, дають нам та Якби була строго спадною, ми б отримали (Зверніть увагу, що , так як ).
В решті решт, ми показали, що якщо строго монотонна, то
Теорема про перетворення
Нехай — це -мірний неперервний випадковий вектор, який має щільність , і припустимо, що має множину значень . Нехай — бієкція від до деякої множини , і розглянемо -мірний випадковий вектор Це означає, що ми розглядаємо випадкових величин Зрештою, припустимо, що та її обернена функція є неперервно диференційованими (для того щоб якобіан був коректно визначений).
Щільність дорівнює
де обернена (єдина) функція до , і де тобто, є якобіаном. Доведення. Спочатку позначимо: Тепер Проводимо заміну відповідно до формули для заміни змінних в кратних інтегралах: Твердження теореми одразу випливає з наступного результату:
Нехай це -мірний неперервний випадковий вектор. Якщо для кожної , тоді — щільність .
</div>
</div>
Див. також Випадкова величина Багатовимірна випадкова величина Щільність випадкової величини Багатократний інтеграл Якобіан Обернена функція Абсолютно неперервна випадкова величина
Зовнішні посилання
Джерела